Xét các số phức ${{z}_{1}}=x-2+\left( y+2...

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z_2$
Ta có:
$\left|z_1\right|=1\iff |x-2+(y+2)i|=1\iff {(x-2)}^2+{(y+2)}^2=1\left(T\right)$.
Đường tròn $\left(T\right)$ có tâm $I(2;-2)$, bán kính $R=1$, có $OI=\sqrt{{(-2)}^2+2^2}=2\sqrt{2}$
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_2$ là đường tròn $\left(C\right)$ có tâm O, bán kính OM.
Bài yêu cầu: Tìm số phức $z_2$ có: $\left|z_2\right|=x^2+y^2$ lớn nhất.
Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M(x;y)\in \left(C\right)$ sao cho $O{M}_{max}\iff OM=OI+R=2\sqrt{2}+1$
${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\overrightarrow{OI}\right|}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}=1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}).\overrightarrow{OI}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x_M=(1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}).x_1\\ & y_M=(1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}).y_1\end{array}$
$\Rightarrow y_M=(1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}).(-2)=-2-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=-(2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$