Google
Câu hỏi: Xét các số phức ${{z}_{1}}=x-2+\left( y+2 \right)i;{{z}_{2}}=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R},\left| {{z}_{1}} \right|=1 \right)$. Phần ảo của số phức ${{z}_{2}}$ có môđun lớn nhất bằng
A. $-5$
B. $-\left( 2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
C. $2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D. 3
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow \left| x-2+\left( y+2 \right)i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1\left( T \right)$.
Đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $I\left( 2;-2 \right)$, bán kính $R=1$, có $OI=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}$
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm O, bán kính OM.
Bài yêu cầu: Tìm số phức ${{z}_{2}}$ có: $\left| {{z}_{2}} \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ lớn nhất.
Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)$ sao cho $O{{M}_{\max }}\Leftrightarrow OM=OI+R=2\sqrt{2}+1$
$\dfrac{\left| \overrightarrow{OM} \right|}{\left| \overrightarrow{OI} \right|}=\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).\overrightarrow{OI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).{{x}_{1}} \\
& {{y}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).{{y}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{y}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).\left( -2 \right)=-2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\left( 2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
A. $-5$
B. $-\left( 2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
C. $2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D. 3
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow \left| x-2+\left( y+2 \right)i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1\left( T \right)$.
Đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $I\left( 2;-2 \right)$, bán kính $R=1$, có $OI=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}$
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm O, bán kính OM.
Bài yêu cầu: Tìm số phức ${{z}_{2}}$ có: $\left| {{z}_{2}} \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ lớn nhất.
Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)$ sao cho $O{{M}_{\max }}\Leftrightarrow OM=OI+R=2\sqrt{2}+1$
$\dfrac{\left| \overrightarrow{OM} \right|}{\left| \overrightarrow{OI} \right|}=\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).\overrightarrow{OI}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).{{x}_{1}} \\
& {{y}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).{{y}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{y}_{M}}=\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right).\left( -2 \right)=-2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\left( 2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
Đáp án B.