Xét các số phức $z_1=1+i,z_2=1-3i,z_3=4+i$ và số...

Ta có nhận xét: Nếu có hai số phức $z,z^{\prime }$ mà ${\displaystyle \frac{z}{z^{\prime }}}$ thuần ảo thì điểm biểu diễn $M,M^{\prime }$ của chúng sẽ thỏa mãn $OM\mathrm{\perp }O{M}^{\prime }.$ Còn nếu ${\displaystyle \frac{z}{z^{\prime }}}$ là số thực thì $O,M,M^{\prime }$ thẳng hàng.
Gọi $A(1;1),B(1;-3),C(4;1)$ là các điểm biểu diễn của $z_1,z_2,z_3$ và $M$ là điểm biểu diễn của $z.$
Từ đó, ta thấy nếu gọi $H,K,L$ là điểm biểu diễn của $z_4,z_5,z_6$ thì $H,K,L$ chính là hình chiếu của $M$ lên các cạnh $BC,CA,AB.$ Ta cần tìm $min(M{H}^2+M{K}^2+M{L}^2).$
Ta có: $(a^2+b^2+c^2)(M{H}^2+M{K}^2+M{L}^2)\ge {(aMH+bMK+cML)}^2\ge 4S_{ABC}^2$ nên
$T\ge {\displaystyle \frac{4S_{ABC}^2}{a^2+b^2+c^2}}={\displaystyle \frac{4\cdot 6^2}{3^2+4^2+5^2}}={\displaystyle \frac{72}{25}},$ trong đó $BC=a=5,CA=b=3,AB=c=4$.
Đẳng thức xảy ra khi ${\displaystyle \frac{MH}{a}}={\displaystyle \frac{MK}{b}}={\displaystyle \frac{ML}{c}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{S_{MBC}}{a^2}}={\displaystyle \frac{S_{MCA}}{b^2}}={\displaystyle \frac{S_{MAB}}{c^2}}$ và $M$ nằm trong tam giác.
Từ đó dễ thấy $M$ tồn tại nên $z$ cũng tồn tại và $T_{min}={\displaystyle \frac{72}{25}}.$