Google
Câu hỏi: Xét các số phức ${{z}_{1}}=1+i,{{z}_{2}}=1-3i,{{z}_{3}}=4+i$ và số phức $z$ thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức ${{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}$ mà $\dfrac{{{z}_{4}}-{{z}_{2}}}{{{z}_{4}}-{{z}_{3}}},\dfrac{{{z}_{5}}-{{z}_{3}}}{{{z}_{5}}-{{z}_{1}}},\dfrac{{{z}_{6}}-{{z}_{1}}}{{{z}_{6}}-{{z}_{2}}}$ là các số thực, còn $\dfrac{z-{{z}_{4}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{3}}},\dfrac{z-{{z}_{5}}}{{{z}_{3}}-{{z}_{1}}},\dfrac{z-{{z}_{6}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T={{\left| z-{{z}_{4}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{5}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{6}} \right|}^{2}}.$
A. $\dfrac{72}{5}.$
B. $3.$
C. $\dfrac{72}{25}.$
D. $\dfrac{18}{25}.$
A. $\dfrac{72}{5}.$
B. $3.$
C. $\dfrac{72}{25}.$
D. $\dfrac{18}{25}.$
Ta có nhận xét: Nếu có hai số phức $z,{z}'$ mà $\dfrac{z}{{{z}'}}$ thuần ảo thì điểm biểu diễn $M,{M}'$ của chúng sẽ thỏa mãn $OM\bot O{M}'.$ Còn nếu $\dfrac{z}{{{z}'}}$ là số thực thì $O,M,{M}'$ thẳng hàng.
Gọi $A(1;1),B(1;-3),C(4;1)$ là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ và $M$ là điểm biểu diễn của $z.$
Từ đó, ta thấy nếu gọi $H,K,L$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}$ thì $H,K,L$ chính là hình chiếu của $M$ lên các cạnh $BC,CA,AB.$ Ta cần tìm $\min (M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}}).$
Ta có: $({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})(M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}})\ge {{(aMH+bMK+cML)}^{2}}\ge 4S_{ABC}^{2}$ nên
$T\ge \dfrac{4S_{ABC}^{2}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\dfrac{4\cdot {{6}^{2}}}{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\dfrac{72}{25}, $ trong đó $BC=a=5,CA=b=3,AB=c=4$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{MH}{a}=\dfrac{MK}{b}=\dfrac{ML}{c}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{MBC}}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{{{S}_{MCA}}}{{{b}^{2}}}=\dfrac{{{S}_{MAB}}}{{{c}^{2}}}$ và $M$ nằm trong tam giác.
Từ đó dễ thấy $M$ tồn tại nên $z$ cũng tồn tại và ${{T}_{\min }}=\dfrac{72}{25}.$
Gọi $A(1;1),B(1;-3),C(4;1)$ là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ và $M$ là điểm biểu diễn của $z.$
Từ đó, ta thấy nếu gọi $H,K,L$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}$ thì $H,K,L$ chính là hình chiếu của $M$ lên các cạnh $BC,CA,AB.$ Ta cần tìm $\min (M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}}).$
Ta có: $({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})(M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}})\ge {{(aMH+bMK+cML)}^{2}}\ge 4S_{ABC}^{2}$ nên
$T\ge \dfrac{4S_{ABC}^{2}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\dfrac{4\cdot {{6}^{2}}}{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\dfrac{72}{25}, $ trong đó $BC=a=5,CA=b=3,AB=c=4$.
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{MH}{a}=\dfrac{MK}{b}=\dfrac{ML}{c}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{MBC}}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{{{S}_{MCA}}}{{{b}^{2}}}=\dfrac{{{S}_{MAB}}}{{{c}^{2}}}$ và $M$ nằm trong tam giác.
Từ đó dễ thấy $M$ tồn tại nên $z$ cũng tồn tại và ${{T}_{\min }}=\dfrac{72}{25}.$
Đáp án C.