Xét các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\left( y+z \right)\left(...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Xét các số nguyên dương

x, y

thỏa mãn

(y + z) (3^{x} - 81^{\frac{1}{y + z}}) = x y + x z - 4

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\log_{\sqrt{2}} x + \log_{2} (2 y^{2} + z^{2})

.
A.

2 + \log_{2} 3

.
B.

5 - \log_{2} 3

.
C.

\log_{2} 11

.
D.

4 - \log_{3} 2

Ta có

(y + z) (3^{x} - 81^{\frac{1}{y + z}}) = x y + x z - 4 \Leftrightarrow 3^{x} - 3^{\frac{4}{y + z}} = x - \frac{4}{y + z} \Leftrightarrow 3^{x} - x = 3^{\frac{4}{y + z}} - \frac{4}{y + z}

.
Xét hàm số

f (t) = 3^{t} - t

với

t > 0

ta có

f^{'} (t) = 3^{t} \ln 3 - 1 > 0, \forall t > 0 \Rightarrow

hàm số

f (t) = 3^{t} - t

đồng biến trên

(0; + \infty)

. Do đó

3^{x} - x = 3^{\frac{4}{y + z}} - \frac{4}{y + z} \Leftrightarrow x = \frac{4}{y + z}

.
Mặt khác ta lại có

{(\frac{1}{\sqrt{2}} . \sqrt{2} y + z)}^{2} \leq \frac{3}{2} (2 y^{2} + z^{2}) \Rightarrow 2 y^{2} + z^{2} \geq \frac{2}{3} {(y + z)}^{2}

.
Khi đó

\log_{\sqrt{2}} x + \log_{2} (2 y^{2} + z^{2}) = 2 \log_{2} \frac{4}{x + y} + \log_{2} (2 y^{2} + z^{2}) \geq 4 - 2 \log_{2} (y + z) + \log_{2} \frac{2}{3} {(y + z)}^{2} = 5 - \log_{2} 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\log_{\sqrt{2}} x + \log_{2} (2 y^{2} + z^{2})

bằng

5 - \log_{2} 3

.

Đáp án B.

Xét các số nguyên dương x,y thỏa mãn $\left( y+z \right)\left(...