Google
Câu hỏi: Xét các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\left( y+z \right)\left( {{3}^{x}}-{{81}^{\dfrac{1}{y+z}}} \right)=xy+xz-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$.
A. $2+{{\log }_{2}}3$.
B. $5-{{\log }_{2}}3$.
C. ${{\log }_{2}}11$.
D. $4-{{\log }_{3}}2$
A. $2+{{\log }_{2}}3$.
B. $5-{{\log }_{2}}3$.
C. ${{\log }_{2}}11$.
D. $4-{{\log }_{3}}2$
Ta có $\left( y+z \right)\left( {{3}^{x}}-{{81}^{\dfrac{1}{y+z}}} \right)=xy+xz-4\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{3}^{\dfrac{4}{y+z}}}=x-\dfrac{4}{y+z}\Leftrightarrow {{3}^{x}}-x={{3}^{\dfrac{4}{y+z}}}-\dfrac{4}{y+z}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-t$ với $t>0$ ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3-1>0,\forall t>0\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Do đó ${{3}^{x}}-x={{3}^{\dfrac{4}{y+z}}}-\dfrac{4}{y+z}\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{y+z}$.
Mặt khác ta lại có ${{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}y+z \right)}^{2}}\le \dfrac{3}{2}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\Rightarrow 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge \dfrac{2}{3}{{\left( y+z \right)}^{2}}$.
Khi đó
${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=2{{\log }_{2}}\dfrac{4}{x+y}+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge 4-2{{\log }_{2}}\left( y+z \right)+{{\log }_{2}}\dfrac{2}{3}{{\left( y+z \right)}^{2}}=5-{{\log }_{2}}3$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$ bằng $5-{{\log }_{2}}3$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-t$ với $t>0$ ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3-1>0,\forall t>0\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Do đó ${{3}^{x}}-x={{3}^{\dfrac{4}{y+z}}}-\dfrac{4}{y+z}\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{y+z}$.
Mặt khác ta lại có ${{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}y+z \right)}^{2}}\le \dfrac{3}{2}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\Rightarrow 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge \dfrac{2}{3}{{\left( y+z \right)}^{2}}$.
Khi đó
${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=2{{\log }_{2}}\dfrac{4}{x+y}+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge 4-2{{\log }_{2}}\left( y+z \right)+{{\log }_{2}}\dfrac{2}{3}{{\left( y+z \right)}^{2}}=5-{{\log }_{2}}3$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$ bằng $5-{{\log }_{2}}3$.
Đáp án B.