Xét các số $a, b $ là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022. Biết rằng...

Đặt $c=a+1, c \geq 2$, khi đó $\left( {{2}^{a+b+2}}-{{2}^{b-a}} \right)\cdot {{\log }_{a+1}}\sqrt{b}>{{4}^{b}}-1\Leftrightarrow \left( {{2}^{c}}-{{2}^{-c}} \right)\cdot {{\log }_{c}}b>{{2}^{b}}-{{2}^{-b}} (1)$.
+) $b=1$, không thỏa mãn (1).
+) $b=2 \Rightarrow \dfrac{2^{c}-2^{-c}}{\log _{2} c}>\dfrac{15}{4}$ (2).
•) $c=2$, không thỏa mãn (2).
•) $\forall c \geq 3$, hàm $f(c)=\dfrac{{{2}^{c}}-{{2}^{-c}}}{{{\log }_{2}}c},{f}'(c)=\dfrac{{{2}^{c}}(c.\ln 2.\ln c-1)+c{{.2}^{-c}}.\ln 2.\ln c+{{2}^{-c}}}{c.\ln 2{{\left( {{\log }_{2}}c \right)}^{2}}}>0$.
Suy ra $f(c) \geq f(3)>\dfrac{15}{4}, \forall c \geq 3 \Rightarrow 2 \leq a \leq 2021$. Do đó $b=2$ thỏa mãn.
+) $b\ge 3,(1)\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{c}}-{{2}^{-c}}}{\ln c}>\dfrac{{{2}^{b}}-{{2}^{-b}}}{\ln b} (3)$.
Hàm số $f(t)=\dfrac{2^{t}-2^{-t}}{\log _{2} t}$ đồng biến với mọi $t \geq 3$ và $c=2$ không thỏa mãn (3) nên $c \geq 3$.
Do đó $(3) \Leftrightarrow c>b,(b \geq 3) \Rightarrow 3 \leq b \leq a \leq 2021 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}b \geq 3 \\ 2021-b+1 \geq 1000\end{array} \Rightarrow 3 \leq b \leq 1022\right.$.
Vậy $2 \leq b \leq 1022$.