Xét ba số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| z-i...

Gọi $M,{{M}_{1}},{{M}_{2}}$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $\sqrt{5}z,{{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$.
Ta có $\left| z-i \right|=\left| z+1 \right|\Leftrightarrow \left| \sqrt{5}z-\sqrt{5}i \right|=\left| \sqrt{5}z+\sqrt{5} \right|\Leftrightarrow MA=MB$ với $A\left( 0;\sqrt{5} \right)$ và $B\left( -\sqrt{5};0 \right)$.
$\Leftrightarrow M\in d$ với $d$ là đường trung trực của $AB$.
$d$ qua $I\left( -\dfrac{\sqrt{5}}{2};\dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)$ là trung điểm $AB$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( -\sqrt{5};-\sqrt{5} \right)$ làm VTPT $\Rightarrow d:x+y=0$.
$\left| {{z}_{1}}-3\sqrt{5} \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right)$ với $\left( {{C}_{1}} \right)$ là đường tròn tâm ${{I}_{1}}\left( 3\sqrt{5};0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{5}$.
$\left| {{z}_{2}}-4\sqrt{5}i \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{M}_{1}}\in \left( {{C}_{2}} \right)$ với $\left( {{C}_{2}} \right)$ là đường tròn tâm ${{I}_{2}}\left( 0;4\sqrt{5} \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2\sqrt{5}$.
Khi đó $T=\left| \sqrt{5}z-{{z}_{1}} \right|+\left| \sqrt{5}z-{{z}_{2}} \right|=M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}$.
Lấy đối xứng ${{M}_{1}}$ qua $d$, ta được $M_{1}^{'}\in \left( C_{1}^{'} \right)$ với $\left( C_{1}^{'} \right)$ là đường tròn tâm $I_{1}^{'}\left( 0;-3\sqrt{5} \right)$, bán kính $R_{1}^{'}=\sqrt{5}$.
Khi đó $MM_{1}^{'}+M{{M}_{2}}\ge M_{1}^{'}{{M}_{2}}\ge \left| I_{1}^{'}{{I}_{2}}-R_{1}^{'}-{{R}_{2}} \right|=4\sqrt{5}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv O\left( 0;0 \right),{{M}_{2}}\left( 0;2\sqrt{5} \right),{{M}_{1}}\left( 2\sqrt{5};0 \right)$.
Hay $z=0,{{z}_{2}}=2\sqrt{5}i,{{z}_{1}}=2\sqrt{5}$.