Google
Câu hỏi: Với tất cả giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=m{{x}^{4}}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+1+2m$ chỉ có một cực trị:
A. $m\ge 2$.
B. $0\le m\le 2$.
C. $\left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 2 \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ m\le 0$.
A. $m\ge 2$.
B. $0\le m\le 2$.
C. $\left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 2 \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ m\le 0$.
* Nếu $m=0$ thì $y=-2{{x}^{2}}+1$ là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị.
* Khi $m\ne 0$, ta có: $y'=4m{{x}^{3}}+2\left( m-2 \right)x=2x\left[ 2m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right) \right]$ ; $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{2-m}{2m} \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số có một cực trị khi $\dfrac{2-m}{2m}\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp hai trường hợp ta được $\left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 2 \\
\end{aligned} \right.$.
* Khi $m\ne 0$, ta có: $y'=4m{{x}^{3}}+2\left( m-2 \right)x=2x\left[ 2m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right) \right]$ ; $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{2-m}{2m} \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số có một cực trị khi $\dfrac{2-m}{2m}\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp hai trường hợp ta được $\left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.