Google
Câu hỏi: Với số nguyên $a$, $b$ đường thẳng $x=a+\sqrt{b}$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}x$ và đồ thị hàm số $y={{\log }_{5}}\left( x+4 \right)$ lần lượt tại hai điểm $A$, $B$ và $AB=\dfrac{1}{2}$. Giá trị $a+b$ bằng
A. $9$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $8$.
A. $9$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $8$.
Đặt $A\left( a+\sqrt{b};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( a+\sqrt{b};{{y}_{B}} \right)$, khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b} \right)={{y}_{A}} \\
{{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b}+4 \right)={{y}_{B}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b}+4 \right)-{{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b} \right)={{y}_{B}}-{{y}_{A}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \dfrac{a+\sqrt{b}+4}{a+\sqrt{b}} \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a+\sqrt{b}+4}{a+\sqrt{b}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow a+\sqrt{b}=1+\sqrt{5}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=1 \\
b=5 \\
\end{matrix} \right.$.
$\left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b} \right)={{y}_{A}} \\
{{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b}+4 \right)={{y}_{B}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b}+4 \right)-{{\log }_{5}}\left( a+\sqrt{b} \right)={{y}_{B}}-{{y}_{A}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \dfrac{a+\sqrt{b}+4}{a+\sqrt{b}} \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a+\sqrt{b}+4}{a+\sqrt{b}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow a+\sqrt{b}=1+\sqrt{5}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=1 \\
b=5 \\
\end{matrix} \right.$.
Đáp án C.