Google
Câu hỏi: Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=78$, hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển biểu thức ${{\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}^{n}}$ bằng bao nhiêu?
A. 532224
B. 534248
C. 464640
D. $-463616$
A. 532224
B. 534248
C. 464640
D. $-463616$
Ta có $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=78\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-1 \right)!}+\dfrac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=78\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Rightarrow n=12$.
Xét khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{k}}{{.2}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{.2}^{12-k}}}\left( \sum\limits_{j=0}^{k}{C_{k}^{j}{{x}^{2j}}{{\left( -x \right)}^{k-j}}} \right)$
$=\sum\limits_{k=0}^{12}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{12}^{k}C_{k}^{j}{{\left( -1 \right)}^{k-j}}{{2}^{12-k}}{{x}^{j+k}}}}$.
Xét $j+k=4\left( 0\le j\le k \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& j=0;k=4 \\
& j=1;k=3 \\
& j=2;k=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hệ số của ${{x}^{4}}$ là $C_{12}^{4}.C_{4}^{0}{{\left( -1 \right)}^{4}}{{.2}^{8}}+C_{12}^{3}.C_{3}^{1}{{\left( -1 \right)}^{2}}{{.2}^{9}}+C_{12}^{2}.C_{2}^{2}{{\left( -1 \right)}^{0}}{{.2}^{10}}=532224$.
Xét khai triển ${{\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{k}}{{.2}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{.2}^{12-k}}}\left( \sum\limits_{j=0}^{k}{C_{k}^{j}{{x}^{2j}}{{\left( -x \right)}^{k-j}}} \right)$
$=\sum\limits_{k=0}^{12}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{12}^{k}C_{k}^{j}{{\left( -1 \right)}^{k-j}}{{2}^{12-k}}{{x}^{j+k}}}}$.
Xét $j+k=4\left( 0\le j\le k \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& j=0;k=4 \\
& j=1;k=3 \\
& j=2;k=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hệ số của ${{x}^{4}}$ là $C_{12}^{4}.C_{4}^{0}{{\left( -1 \right)}^{4}}{{.2}^{8}}+C_{12}^{3}.C_{3}^{1}{{\left( -1 \right)}^{2}}{{.2}^{9}}+C_{12}^{2}.C_{2}^{2}{{\left( -1 \right)}^{0}}{{.2}^{10}}=532224$.
Đáp án A.