Google
Câu hỏi: Với n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2}+C_{n+1}^{n-1}=210,$ hệ số của số hạng chứa ${{x}^{12}}$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{5}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}$ bằng
A. 59136
B. $59130{{x}^{12}}$
C. 59130
D. $59136{{x}^{12}}$
A. 59136
B. $59130{{x}^{12}}$
C. 59130
D. $59136{{x}^{12}}$
Điều kiện: $n\ge 2.$
Ta có $A_{n}^{2}+C_{n+1}^{n-1}=210\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}+\dfrac{\left( n+1 \right)!}{2!\left( n-1 \right)!}=210$
$\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)+\dfrac{1}{2}n\left( n+1 \right)=210\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}-n-420=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=12 \\
& n=-\dfrac{35}{3}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\left( {{x}^{5}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{5x}}{{\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{.2}^{12-k}}{{x}^{8k-36}}}$
Hệ số của ${{x}^{12}}$ khi $8k-36=12\Rightarrow k=6\Rightarrow $ hệ số $C_{12}^{6}{{2}^{6}}=59136$
Ta có $A_{n}^{2}+C_{n+1}^{n-1}=210\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}+\dfrac{\left( n+1 \right)!}{2!\left( n-1 \right)!}=210$
$\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)+\dfrac{1}{2}n\left( n+1 \right)=210\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}-n-420=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=12 \\
& n=-\dfrac{35}{3}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\left( {{x}^{5}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{5x}}{{\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{.2}^{12-k}}{{x}^{8k-36}}}$
Hệ số của ${{x}^{12}}$ khi $8k-36=12\Rightarrow k=6\Rightarrow $ hệ số $C_{12}^{6}{{2}^{6}}=59136$
Đáp án A.