Với mọi số thực x,y thỏa điều kiện ${{\log }_{2}}\left(...

Điều kiện: $xy+1>0$
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( \dfrac{xy+1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-xy\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \dfrac{xy+1}{2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \right]=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-xy-1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( xy+1 \right)+\left( xy+1 \right)={{\log }_{2}}\left[ 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \right]+2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$
$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0 \forall t>0\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó: $f\left( xy+1 \right)=f\left( 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \right)\Rightarrow xy+1=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$
Ta có:
$-\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2} \right)\le xy\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\Leftrightarrow -\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2} \right)+1\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le \left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2} \right)+1\Leftrightarrow \dfrac{2}{5}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \dfrac{2}{3}$
Khi đó: $P=\dfrac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{2xy+1}=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left( xy \right)}^{2}}}{2xy+1}$
Thay $xy=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-1$, đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ rút gọn ta được
$P\left( t \right)=\dfrac{-7{{t}^{2}}+8t-2}{4t-1}$ với $\dfrac{2}{5}\le t\le \dfrac{2}{3}$
$P'\left( t \right)=\dfrac{-28{{t}^{2}}+14t}{{{\left( 4t-1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Lập bảng biến thiên dễ thấy: $\max P=P\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{4}, \min P=P\left( \dfrac{2}{5} \right)=P\left( \dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{2}{15}$
Do đó: $m=\dfrac{2}{15}, M=\dfrac{1}{4}\Rightarrow Q=15m+2{{\log }_{2}}M=-2$