. Với mọi số thực $x, y$ thỏa điều kiện ${{\log }_{2}}\left(...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Với mọi số thực

x, y

thỏa điều kiện

\log_{2} (\frac{x y + 1}{x^{2} + y^{2}}) = 2 (x^{2} + y^{2}) - x y

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{x^{4} + y^{4}}{2 x y + 1}

. Tính giá trị biểu thức

Q = 15 m + 2 \log_{2} M

.
A.

Q = 0

B.

Q = 1

C.

Q = - 2

D.

Q = - 1

Điều kiện:

x y + 1 > 0

.

\log_{2} (\frac{x y + 1}{x^{2} + y^{2}}) = 2 (x^{2} + y^{2}) - x y \Leftrightarrow \log_{2} [\frac{x y + 1}{2 (x^{2} + y^{2})}] = 2 (x^{2} + y^{2}) - x y - 1

\Leftrightarrow \log_{2} (x y + 1) + (x y + 1) = \log_{2} [2 (x^{2} + y^{2})] + 2 (x^{2} + y^{2})

.
Xét hàm số:

f (t) = \log_{2} t + t (t > 0)

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0 \forall t > 0 \Rightarrow

hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Do đó:

f (x y + 1) = f (2 (x^{2} + y^{2})) \Rightarrow x y + 1 = 2 (x^{2} + y^{2})

Ta có:

- (\frac{x^{2} + y^{2}}{2}) \leq x y \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2} \Leftrightarrow - (\frac{x^{2} + y^{2}}{2}) + 1 \leq 2 (x^{2} + y^{2}) \leq (\frac{x^{2} + y^{2}}{2}) + 1 \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq x^{2} + y^{2} \leq \frac{2}{3}

.
Khi đó:

P = \frac{x^{4} + y^{4}}{2 x y + 1} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 {(x y)}^{2}}{2 x y + 1}

.
Thay

x y = 2 (x^{2} + y^{2}) - 1

, đặt

t = x^{2} + y^{2}

rút gọn ta được:

P (t) = \frac{- 7 t^{2} + 8 t - 2}{4 t - 1}

với

\frac{2}{5} \leq t \leq \frac{2}{3}

.

P^{'} (t) = \frac{- 28 t^{2} + 14 t}{{(4 t - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} t = 0 \\ t = \frac{1}{2} \end{aligned}

.
Lập bảng biến thiên dễ thấy:

max P = P (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}, min P = P (\frac{2}{5}) = P (\frac{2}{3}) = \frac{2}{15}

.
Do đó:

m = \frac{2}{15}, M = \frac{1}{4} \Rightarrow Q = 15 m + 2 \log_{2} M = - 2

.

Đáp án C.

. Với mọi số thực x,y thỏa điều kiện ${{\log }_{2}}\left(...