Google
Câu hỏi: Với $m$ là tham số thực dương khác $1$. Hãy tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)-2{{\log }_{m}}x>{{\log }_{\dfrac{1}{m}}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$ biết rằng $x=\dfrac{5}{4}$ là nghiệm của bất phương trình
A. $S=\left( 1;2 \right)$.
B. $S=\left( 1;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
C. $S=\left( 0;2 \right)$.
D. $S=\left( 2;+\infty \right)$.
A. $S=\left( 1;2 \right)$.
B. $S=\left( 1;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
C. $S=\left( 0;2 \right)$.
D. $S=\left( 2;+\infty \right)$.
Ta có: $x=\dfrac{5}{4}$ là nghiệm của ${{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)-2{{\log }_{m}}x>{{\log }_{\dfrac{1}{m}}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$ nên:
${{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{5}{4}+2 \right)-2{{\log }_{m}}\dfrac{5}{4}>{{\log }_{\dfrac{1}{m}}}\left[ {{\left( \dfrac{5}{4} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{4} \right]$
$\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\dfrac{13}{8}-{{\log }_{m}}\dfrac{25}{16}>{{\log }_{m}}\dfrac{16}{5}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\dfrac{26}{25}>{{\log }_{m}}\dfrac{16}{5}$ $\Leftrightarrow 0<m<1$.
Khi đó: ${{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)-2{{\log }_{m}}x>{{\log }_{\dfrac{1}{m}}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)+{{\log }_{m}}\left( {{x}^{2}}-x \right)>{{\log }_{m}}{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+\dfrac{1}{2}.\left( x+2 \right)<{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x>2$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left( 2;+\infty \right)$.
${{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{5}{4}+2 \right)-2{{\log }_{m}}\dfrac{5}{4}>{{\log }_{\dfrac{1}{m}}}\left[ {{\left( \dfrac{5}{4} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{4} \right]$
$\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\dfrac{13}{8}-{{\log }_{m}}\dfrac{25}{16}>{{\log }_{m}}\dfrac{16}{5}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\dfrac{26}{25}>{{\log }_{m}}\dfrac{16}{5}$ $\Leftrightarrow 0<m<1$.
Khi đó: ${{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)-2{{\log }_{m}}x>{{\log }_{\dfrac{1}{m}}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)+{{\log }_{m}}\left( {{x}^{2}}-x \right)>{{\log }_{m}}{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+\dfrac{1}{2}.\left( x+2 \right)<{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x>2$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left( 2;+\infty \right)$.
Đáp án B.