Google
Câu hỏi: Với hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thay đổi thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1-2i \right|=\left| {{z}_{1}}-5+2i \right|$ và $\left| {{z}_{2}}+3-2i \right|=2.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+3+i \right|+\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng:
A. $5\sqrt{5}-2$
B. $\sqrt{10}+2$
C. $3\sqrt{10}-2$
D. $\sqrt{85}-2$
A. $5\sqrt{5}-2$
B. $\sqrt{10}+2$
C. $3\sqrt{10}-2$
D. $\sqrt{85}-2$
Cách giải:
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}+1-2i \right|=\left| {{z}_{1}}-5+2i \right|$ nên tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là trung trực của $AB,$ với $A\left( -1;2 \right),B\left( 5;-2 \right).$
Phương trình đường trung trực của $AB$ là $\left( d \right):3x-2y-6=0\Rightarrow M\in \left( d \right).$
$\left| {{z}_{2}}+3-2i \right|=2\Rightarrow $ Tập hợp các điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -3;2 \right)$ bán kính $R=2.$
Gọi $E\left( -3;-1 \right)$ biểu diễn số phức $-3-i,$ khi đó ta có $P=ME+MN.$
Dễ thấy $E,N$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d.$
Gọi $E'$ là điểm đối xứng với $E$ qua $d,$ ta tìm được $E'\left( 3;-5 \right)$
Khi đó ta có
$P=MN+ME=MN+ME'\ge NE'\ge IE'-R$
$\Rightarrow P\ge \sqrt{{{6}^{2}}+{{7}^{2}}}-2=\sqrt{85}-2$
Vậy ${{P}_{\min }}=\sqrt{85}-2.$
Ta có:
$\left| {{z}_{1}}+1-2i \right|=\left| {{z}_{1}}-5+2i \right|$ nên tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là trung trực của $AB,$ với $A\left( -1;2 \right),B\left( 5;-2 \right).$
Phương trình đường trung trực của $AB$ là $\left( d \right):3x-2y-6=0\Rightarrow M\in \left( d \right).$
$\left| {{z}_{2}}+3-2i \right|=2\Rightarrow $ Tập hợp các điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -3;2 \right)$ bán kính $R=2.$
Gọi $E\left( -3;-1 \right)$ biểu diễn số phức $-3-i,$ khi đó ta có $P=ME+MN.$
Dễ thấy $E,N$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d.$
Gọi $E'$ là điểm đối xứng với $E$ qua $d,$ ta tìm được $E'\left( 3;-5 \right)$
Khi đó ta có
$P=MN+ME=MN+ME'\ge NE'\ge IE'-R$
$\Rightarrow P\ge \sqrt{{{6}^{2}}+{{7}^{2}}}-2=\sqrt{85}-2$
Vậy ${{P}_{\min }}=\sqrt{85}-2.$
Đáp án D.