Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng $y=2\text{x}+m$...

Xét phương trình hoành độ giao điểm $2\text{x}+m=\dfrac{x+3}{x+1}\Leftrightarrow \left( 2\text{x}+m \right)\left( x+1 \right)=x+3$
$\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0$ (*) ( $x\ne -1$ )
Đường thẳng $y=2\text{x}+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{\text{x}}_{2}}$ khác $-1$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4.2\left( m-3 \right)>0 \\
& 2.{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( m+1 \right).\left( -1 \right)+m-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-6m+25>0 \\
& -2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$ (luôn đúng).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi hai giao điểm là $M\left( {{x}_{1}};2{{\text{x}}_{1}}+m \right),\text{ N}\left( {{x}_{2}};2{{\text{x}}_{2}}+m \right)$.
Khi đó $MN=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{\text{x}}_{2}}-2{{\text{x}}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5\left( x_{2}^{2}-2{{\text{x}}_{2}}{{x}_{1}}+x_{1}^{2} \right)}=\sqrt{5\left[ {{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-4{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}} \right]}$.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được:
$M{{N}^{2}}=5\left[ {{\left( \dfrac{m+1}{2} \right)}^{2}}-4.\dfrac{m-3}{2} \right]=5\left( \dfrac{{{m}^{2}}+2m+1}{4}-2\left( m-3 \right) \right)=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}+2m+1-8m+24 \right)$
$=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right)=\dfrac{5}{4}\left[ {{\left( m-3 \right)}^{2}}+16 \right]\ge \dfrac{5}{4}.16=20$.
$\Rightarrow M{{N}^{2}}\ge 20\Rightarrow mn\ge 2\sqrt{5}\Rightarrow \min MN=2\sqrt{5}$ khi $m=3$.