Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng $y=2\text{x}+m$...

Xét phương trình hoành độ giao điểm $2\text{x}+m={\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}\iff (2\text{x}+m)(x+1)=x+3$
$\iff 2{\text{x}}^2+(m+1)x+m-3=0$ (*) ( $x\ne -1$ )
Đường thẳng $y=2\text{x}+m$ cắt đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt $\iff$ (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1,{\text{x}}_2$ khác $-1$.
$\iff \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={(m+1)}^2-4.2(m-3)>0\\ & 2.{(-1)}^2+(m+1).(-1)+m-3\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-6m+25>0\\ & -2\ne 0\end{array}$ (luôn đúng).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{m+1}{2}}\\ & x_1{x}_2={\displaystyle \frac{m-3}{2}}\end{array}$.
Gọi hai giao điểm là $M(x_1;2{\text{x}}_1+m),\text{ N}(x_2;2{\text{x}}_2+m)$.
Khi đó $MN=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(2{\text{x}}_2-2{\text{x}}_1)}^2}=\sqrt{5(x_2^2-2{\text{x}}_2{x}_1+x_1^2)}=\sqrt{5[{(x_2+x_1)}^2-4{\text{x}}_1{x}_2]}$.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được:
$M{N}^2=5[{\left({\displaystyle \frac{m+1}{2}}\right)}^2-4.{\displaystyle \frac{m-3}{2}}]=5({\displaystyle \frac{m^2+2m+1}{4}}-2(m-3))={\displaystyle \frac{5}{4}}(m^2+2m+1-8m+24)$
$={\displaystyle \frac{5}{4}}(m^2-6m+25)={\displaystyle \frac{5}{4}}[{(m-3)}^2+16]\ge {\displaystyle \frac{5}{4}}.16=20$.
$\Rightarrow M{N}^2\ge 20\Rightarrow mn\ge 2\sqrt{5}\Rightarrow minMN=2\sqrt{5}$ khi $m=3$.