Với giá trị nào của ${m}$ thì phương trình...

Đặt $t={{3}^{x}}\Rightarrow t>0$.
Ta được phương trình $3{{t}^{2}}-4mt+m+2=0 \left( 1 \right)$.
Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt ${x_1,x_2}$ thoả mãn ${x_1+x_2=1}$ $\Rightarrow {{3}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=3\Leftrightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=3$.
Do đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thoả mãn ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}=3$ $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& P=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2m \right)}^{2}}-3\left( m+2 \right)>0 \\
& \dfrac{m+2}{3}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-3m-6>0 \\
& m=7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{3+\sqrt{105}}{8} \\
& m<\dfrac{3-\sqrt{105}}{8} \\
\end{aligned} \right. \\
& m=7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=7$.