Với các số thực x không âm và thỏa mãn...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Với các số thực x không âm và thỏa mãn

4^{x} - {3.2}^{\sqrt{x} + x} - 4^{\sqrt{x} + 1} \leq 0

. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

x^{2} + 9 x + 1 = m e^{x}

có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử tập hợp S là
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

Ta có:

4^{x} - {3.2}^{\sqrt{x} + x} - 4^{\sqrt{x} + 1} \leq 0 \Leftrightarrow 4^{x} - {3.2}^{\sqrt{x} + x} - {4.4}^{\sqrt{x}} \leq 0

\Leftrightarrow \frac{4^{x}}{4^{\sqrt{x}}} - 3. \frac{2^{x + \sqrt{x}}}{4^{\sqrt{x}}} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow 4^{x - \sqrt{x}} - {3.2}^{x - \sqrt{x}} - 4 \leq 0

Đặt

t = 2^{x - \sqrt{x}} \geq 0

ta được

t^{2} - 3 t - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 4 \Leftrightarrow 2^{x - \sqrt{x}} \leq 2^{2} \Leftrightarrow x - \sqrt{x} - 2 \leq 0

\Leftrightarrow (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 4

.
Phương trình

x^{2} + 9 x + 1 = m e^{x} \Leftrightarrow m = \frac{x^{2} + 9 x + 1}{e^{x}} = g (x)

Lại có

g^{'} (x) = \frac{(2 x + 9) e^{x} - (x^{2} + 9 x + 1) e^{x}}{e^{2 x}} = \frac{- x^{2} - 7 x + 8}{e^{x}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 1 \\ x = - 8 \end{aligned}

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT kết hợp

m \in Z \Rightarrow m = {1; 2; 3; 4}

thì phương trình có 2 nghiệm.

Đáp án A.