Google
Câu hỏi: Từ một tấm tôn dạng hình tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng $3m$ và $4m,$ một anh thợ cần cắt một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp tam giác trên. Anh ta gò tấm tôn hình chữ nhật này thành một hình trụ không đáy (như hình vẽ) để đổ thóc vào trong. Thể tích lớn nhất của khối trụ thu được gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. $0,71{{m}^{3}}.$
B. $0,52{{m}^{3}}.$
C. $0,86{{m}^{3}}.$
D. $0,62{{m}^{3}}.$
Khối trụ thu được có thể tích là $V=\pi {{R}^{2}}h$.
$\begin{aligned}
& \Delta BQM\sim\Delta BAC\Rightarrow \dfrac{QM}{AC}=\dfrac{BQ}{BA}\Rightarrow \dfrac{h}{4}=\dfrac{BQ}{3}\Rightarrow BQ=\dfrac{3h}{4}. \\
& \Delta CPN\sim\Delta CAB\Rightarrow \dfrac{PN}{AB}=\dfrac{CP}{CA}\Rightarrow \dfrac{h}{4}=\dfrac{CP}{3}\Rightarrow CP=\dfrac{4h}{3}. \\
\end{aligned}$
Do đó $PQ=BC-BQ-CP=5-\dfrac{3h}{4}-\dfrac{4h}{3}=5-\dfrac{25h}{12}=\dfrac{60-25h}{12}$.
Mà $2R\pi =PQ\Rightarrow R=\dfrac{60-25h}{24\pi }\Rightarrow V=\pi {{\left( \dfrac{60-25h}{24\pi } \right)}^{2}}h=\dfrac{h{{\left( 25h-60 \right)}^{2}}}{{{24}^{2}}\pi }=f\left( h \right)$.
$f'\left( h \right)=\dfrac{{{\left( 25h-60 \right)}^{2}}+h.2\left( 25h-60 \right).25}{{{24}^{2}}\pi }=0\Rightarrow h=\dfrac{4}{5}\Rightarrow V\le f\left( \dfrac{4}{5} \right)\approx 0,71\ {{m}^{3}}.$
A. $0,71{{m}^{3}}.$
B. $0,52{{m}^{3}}.$
C. $0,86{{m}^{3}}.$
D. $0,62{{m}^{3}}.$
Khối trụ thu được có thể tích là $V=\pi {{R}^{2}}h$.
$\begin{aligned}
& \Delta BQM\sim\Delta BAC\Rightarrow \dfrac{QM}{AC}=\dfrac{BQ}{BA}\Rightarrow \dfrac{h}{4}=\dfrac{BQ}{3}\Rightarrow BQ=\dfrac{3h}{4}. \\
& \Delta CPN\sim\Delta CAB\Rightarrow \dfrac{PN}{AB}=\dfrac{CP}{CA}\Rightarrow \dfrac{h}{4}=\dfrac{CP}{3}\Rightarrow CP=\dfrac{4h}{3}. \\
\end{aligned}$
Do đó $PQ=BC-BQ-CP=5-\dfrac{3h}{4}-\dfrac{4h}{3}=5-\dfrac{25h}{12}=\dfrac{60-25h}{12}$.
Mà $2R\pi =PQ\Rightarrow R=\dfrac{60-25h}{24\pi }\Rightarrow V=\pi {{\left( \dfrac{60-25h}{24\pi } \right)}^{2}}h=\dfrac{h{{\left( 25h-60 \right)}^{2}}}{{{24}^{2}}\pi }=f\left( h \right)$.
$f'\left( h \right)=\dfrac{{{\left( 25h-60 \right)}^{2}}+h.2\left( 25h-60 \right).25}{{{24}^{2}}\pi }=0\Rightarrow h=\dfrac{4}{5}\Rightarrow V\le f\left( \dfrac{4}{5} \right)\approx 0,71\ {{m}^{3}}.$
Đáp án A.