Google
Câu hỏi: Từ một tấm tôn có hình dạng elip với độ dài trục lớn bằng $6$ độ dài trục bé bằng $4$. Người thợ cần cắt một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp, sau đó gò tấm tôn hình chữ nhật này thành một hình trụ không có đáy (như hình bên).Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối trụđó?
A. $V=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }$.
B. $V=\dfrac{3\sqrt{2}}{\pi }$.
C. $V=\dfrac{5\sqrt{2}}{\pi }$.
D. $V=\dfrac{8\sqrt{3}}{\pi }$.
A. $V=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }$.
B. $V=\dfrac{3\sqrt{2}}{\pi }$.
C. $V=\dfrac{5\sqrt{2}}{\pi }$.
D. $V=\dfrac{8\sqrt{3}}{\pi }$.
Ta có phương trình đường $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}$.
Gọi bán kính đáy hình trụ là $r$, đường cao là $h$
Chu vi một đáy của hình trụ là: $2\pi r=2x\Leftrightarrow r=\dfrac{x}{\pi }$
$AH=\dfrac{2}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow h=2AH=\dfrac{4}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}$
${{V}_{tru}}=\pi .{{r}^{2}}.h=\pi {{\left( \dfrac{x}{\pi } \right)}^{2}}.\dfrac{4}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\dfrac{4}{3\pi }{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{4}{3\pi }{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}} \left( 0<x<3 \right)$
$f'\left( x \right)=\dfrac{4}{3\pi }\left[ \dfrac{18x-3{{x}^{3}}}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}} \right]\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (L) \\
& x=\sqrt{6}(N) \\
& x=-\sqrt{6} (L) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{V}_{\max }}=\dfrac{8\sqrt{3}}{\pi }\Leftrightarrow x=\sqrt{6}$
Gọi bán kính đáy hình trụ là $r$, đường cao là $h$
Chu vi một đáy của hình trụ là: $2\pi r=2x\Leftrightarrow r=\dfrac{x}{\pi }$
$AH=\dfrac{2}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow h=2AH=\dfrac{4}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}$
${{V}_{tru}}=\pi .{{r}^{2}}.h=\pi {{\left( \dfrac{x}{\pi } \right)}^{2}}.\dfrac{4}{3}\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\dfrac{4}{3\pi }{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{4}{3\pi }{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}} \left( 0<x<3 \right)$
$f'\left( x \right)=\dfrac{4}{3\pi }\left[ \dfrac{18x-3{{x}^{3}}}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}} \right]\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (L) \\
& x=\sqrt{6}(N) \\
& x=-\sqrt{6} (L) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{V}_{\max }}=\dfrac{8\sqrt{3}}{\pi }\Leftrightarrow x=\sqrt{6}$
Đáp án D.