Google
Câu hỏi: Từ một cây sắt dài $6$ mét người ta uốn và hàn lại thành khung của một cánh cổng gồm một hình chữ nhật và một nửa hình tròn ghép lại như hình vẽ sau (không tính đoạn $AB$ ).
Cánh cổng trên có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu nếu bỏ qua hao hụt và các mối hàn khi gia công ?
A. $\dfrac{18}{\pi +4}.$
B. $\dfrac{8\pi }{9}.$
C. $\dfrac{9\left( \pi +4 \right)}{25}.$
D. $\dfrac{4+6\pi }{9}.$
Cánh cổng trên có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu nếu bỏ qua hao hụt và các mối hàn khi gia công ?
A. $\dfrac{18}{\pi +4}.$
B. $\dfrac{8\pi }{9}.$
C. $\dfrac{9\left( \pi +4 \right)}{25}.$
D. $\dfrac{4+6\pi }{9}.$
Đặt: $CD=2x\left( m \right),AD=y\left( m \right)\left( 0<x<3,0<y<6 \right).$
Ta có: bán kính của nửa đường tròn là $x\left( m \right)$
Vì cây sắt dài $6\left( m \right)$ nên ta có: $2x+2y+\pi x=6\Leftrightarrow y=\dfrac{6-2x-\pi x}{2}$
Diện tích của cánh cổng là: $S=2xy+\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}=x\left( 6-2x-\pi x \right)+\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}=6x-2{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}$
Đặt $f\left( x \right)=6x-2{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}=S\left( 0<x<3 \right)$
Có: $f'\left( x \right)=6-4x-\pi x,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{4+\pi }$
Bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ trên $\left( 0;3 \right)$
Theo bảng biến thiên trên ta được: $MaxS=\underset{x\in \left( 0;3 \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=\dfrac{18}{\pi +4}$ đạt được khi $x=\dfrac{6}{\pi +4}.$
Ta có: bán kính của nửa đường tròn là $x\left( m \right)$
Vì cây sắt dài $6\left( m \right)$ nên ta có: $2x+2y+\pi x=6\Leftrightarrow y=\dfrac{6-2x-\pi x}{2}$
Diện tích của cánh cổng là: $S=2xy+\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}=x\left( 6-2x-\pi x \right)+\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}=6x-2{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}$
Đặt $f\left( x \right)=6x-2{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\pi {{x}^{2}}=S\left( 0<x<3 \right)$
Có: $f'\left( x \right)=6-4x-\pi x,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{4+\pi }$
Bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ trên $\left( 0;3 \right)$
Theo bảng biến thiên trên ta được: $MaxS=\underset{x\in \left( 0;3 \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=\dfrac{18}{\pi +4}$ đạt được khi $x=\dfrac{6}{\pi +4}.$
Đáp án A.