Google
Câu hỏi: Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước, hai nguồn kết hợp đặt tại hai điểm $A$ và $B$, dao động cùng pha theo phương thẳng đứng. Trên đoạn $AB$ quan sát được 13 cực đại giao thoa. Ở mặt nước, đường tròn $(C)$ có tâm $O$ thuộc trung trực $AB$ và bán kính $a$ không đổi ( $2a<AB$ ). Khi di chuyển $(C)$ trên mặt nước sao cho tâm $O$ luôn nằm trên đường trung trực của $AB$ thì thấy trên $(C)$ có tối đa 12 cực đại giao thoa. Khi trên $(C)$ có 12 điểm cực đại giao thoa thì trong số đó có 4 điểm mà phần tử tại đó dao động vuông pha với nguồn. Đoạn thẳng $AB$ có giá trị lớn nhất giá trị nào sau đây?
A. $4,3a$.
B. $4,1a$.
C. $4,8a$.
D. $4,6a$.
Trên $AB$ có 12 cực đại
Ta xét cực đại $k=1$
A. $4,3a$.
B. $4,1a$.
C. $4,8a$.
D. $4,6a$.
Trên $AB$ có 12 cực đại
$6\lambda <AB<7\lambda $ → $6<AB<7$, chọn $\lambda =1$
Dễ thấy rằng, khi di chuyển $(C)$ mà trên $(C)$ có tối đa 12 cực đại tương ứng với tâm $O$ trùng với trung điểm của $AB$ đồng thời giao điểm của $(C)$ với $AB$ là hai cực đại ứng với $k=\pm 3$.→ $a=1,5$
Trên $(C)$ có 4 cực đại vuông pha với nguồn thì các cực đại này chỉ có thể ứng với $k=\pm 1,\pm 2$.Ta xét cực đại $k=1$
${{d}_{1}}-{{d}_{2}}=1$ (1)
Để vuông pha với nguồn thì${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\dfrac{n}{2}$ với $n=7,9,11,...$ (2)
Mặc khác${{d}_{1}}+{{d}_{2}}\le 2\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$
→ $2\sqrt{\left( \dfrac{AB}{2} \right)_{\min }^{2}+{{a}^{2}}}<{{d}_{1}}+{{d}_{2}}<2\sqrt{\left( \dfrac{AB}{2} \right)_{max}^{2}+{{a}^{2}}}$
$4\sqrt{\left( \dfrac{6}{2} \right)_{\min }^{2}+{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}<n<4\sqrt{\left( \dfrac{7}{2} \right)_{max}^{2}+{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}$
→ $13,4<n<15,2$ (3)
Từ (1), (2) và (3)→ ${{d}_{1}}=4,25$ và ${{d}_{2}}=3,25$
Áp dụng công thức đường trung tuyến$AB=2\sqrt{\dfrac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}{2}-{{a}^{2}}}$
$AB=2\sqrt{\dfrac{{{\left( 4,25 \right)}^{2}}+{{\left( 3,25 \right)}^{2}}}{2}-{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}=6,946$
→ $AB=4,63a$
Ta xét cực đại $k=2$ ${{d}_{1}}-{{d}_{2}}=2$
Tương tự ta cũng có${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\dfrac{15}{2}$ → ${{d}_{1}}=4,75$ và ${{d}_{2}}=2,75$
$\dfrac{AB}{a}=\dfrac{2}{\left( 1,5 \right)}\sqrt{\dfrac{{{\left( 4,75 \right)}^{2}}+{{\left( 2,75 \right)}^{2}}}{2}-{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}=4,8$
Đáp án D.