Google
Câu hỏi: Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+2 \right|=\left| \dfrac{z+\bar{z}}{2}+4 \right|$, gọi số phức $z=a+b\text{i}$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S=a+{{b}^{2}}$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
Ta có:
$\left| z+2 \right|=\left| \dfrac{z+\bar{z}}{2}+4 \right|\Leftrightarrow \left| a+bi+2 \right|=\left| a+4 \right|\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=4a+12$.
$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4a+12}=\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+8}\ge \sqrt{8}$.
Dấu “=” xảy ra khi ${{\left( a+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-2$.
Do đó $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $a=-2$.
$a=-2\Rightarrow {{b}^{2}}=4$.
Vậy $S=a+{{b}^{2}}=-2+4=2$.
$\left| z+2 \right|=\left| \dfrac{z+\bar{z}}{2}+4 \right|\Leftrightarrow \left| a+bi+2 \right|=\left| a+4 \right|\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=4a+12$.
$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4a+12}=\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+8}\ge \sqrt{8}$.
Dấu “=” xảy ra khi ${{\left( a+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-2$.
Do đó $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $a=-2$.
$a=-2\Rightarrow {{b}^{2}}=4$.
Vậy $S=a+{{b}^{2}}=-2+4=2$.
Đáp án D.