Google
Câu hỏi: Trong tất cả các số phức $z=a+bi$, $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức $\left| z-2+5i \right|=\left| z-i \right|$. Biết rằng $\left| z+1-i \right|$ nhỏ nhất. Tính $P=a.b$.
A. $\dfrac{13}{100}$.
B. $-\dfrac{23}{100}$.
C. $-\dfrac{5}{16}$.
D. $\dfrac{9}{25}$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow 4a=12b+28\Leftrightarrow a=3b+7$.
Khi đó: $\left| z+1-i \right|=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3b+8 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{10{{b}^{2}}+46b+65}$
$=\sqrt{10{{\left( b+\dfrac{23}{10} \right)}^{2}}+\dfrac{121}{10}}\ge \dfrac{11\sqrt{10}}{10}$.
Suy ra $\left| z+1-i \right|$ nhỏ nhất bằng $\dfrac{11\sqrt{10}}{10}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{10} \\
& b=-\dfrac{23}{10} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=a.b=-\dfrac{23}{100}$.
A. $\dfrac{13}{100}$.
B. $-\dfrac{23}{100}$.
C. $-\dfrac{5}{16}$.
D. $\dfrac{9}{25}$.
Ta có: $\left| z-2+5i \right|=\left| z-i \right|\Leftrightarrow \left| a-2+\left( b+5 \right)i \right|=\left| a+\left( b-1 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow 4a=12b+28\Leftrightarrow a=3b+7$.
Khi đó: $\left| z+1-i \right|=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3b+8 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{10{{b}^{2}}+46b+65}$
$=\sqrt{10{{\left( b+\dfrac{23}{10} \right)}^{2}}+\dfrac{121}{10}}\ge \dfrac{11\sqrt{10}}{10}$.
Suy ra $\left| z+1-i \right|$ nhỏ nhất bằng $\dfrac{11\sqrt{10}}{10}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{10} \\
& b=-\dfrac{23}{10} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=a.b=-\dfrac{23}{100}$.
Đáp án B.