Google
Câu hỏi: Trong tất cả các số phức $z=a+bi,a,b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức $\left| z-2+5i \right|=\left| z-i \right|.$ Biết rằng, $\left| z+1-i \right|$ nhỏ nhất. Tính $P=a.b.$
A. $-\dfrac{23}{100}.$
B. $\dfrac{13}{100}.$
C. $-\dfrac{5}{16}.$
D. $\dfrac{9}{25}.$
Đặt $M=M\left( z \right).$
Từ hệ thức $\left| z-2+5i \right|=\left| z-i \right|,$ ta được $M\in \Delta :x-3y-7=0.$
Đặt ${{M}_{0}}\left( -1;1 \right)$ thì $\left| z+1-i \right|={{M}_{0}}M.$
Gọi d là đường thẳng đi qua ${{M}_{0}}\left( -1;1 \right)$ và vuông góc với thì $d:3x+y+2=0.$
Xét hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x-3y=7 \\
& 3x+y=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{10} \\
& y=-\dfrac{23}{10} \\
\end{aligned} \right..$
Vậy hình chiếu vuông góc của M0 lên là $H\left( \dfrac{1}{10};-\dfrac{23}{10} \right).$
Ta có $\left| z+1-i \right|$ nhỏ nhất khi $z=\dfrac{1}{10}-\dfrac{23}{10}i\Rightarrow P=-\dfrac{23}{100}.$
A. $-\dfrac{23}{100}.$
B. $\dfrac{13}{100}.$
C. $-\dfrac{5}{16}.$
D. $\dfrac{9}{25}.$
Đặt $M=M\left( z \right).$
Từ hệ thức $\left| z-2+5i \right|=\left| z-i \right|,$ ta được $M\in \Delta :x-3y-7=0.$
Đặt ${{M}_{0}}\left( -1;1 \right)$ thì $\left| z+1-i \right|={{M}_{0}}M.$
Gọi d là đường thẳng đi qua ${{M}_{0}}\left( -1;1 \right)$ và vuông góc với thì $d:3x+y+2=0.$
Xét hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x-3y=7 \\
& 3x+y=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{10} \\
& y=-\dfrac{23}{10} \\
\end{aligned} \right..$
Vậy hình chiếu vuông góc của M0 lên là $H\left( \dfrac{1}{10};-\dfrac{23}{10} \right).$
Ta có $\left| z+1-i \right|$ nhỏ nhất khi $z=\dfrac{1}{10}-\dfrac{23}{10}i\Rightarrow P=-\dfrac{23}{100}.$
Đáp án A.