Google
Câu hỏi: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, thể tích $V$ của khối chóp có thể tích lớn nhất là
A. $V=144$
B. $V=576$
C. $V=576\sqrt{2}$
D. $V=144\sqrt{6}$
A. $V=144$
B. $V=576$
C. $V=576\sqrt{2}$
D. $V=144\sqrt{6}$
Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình chóp tứ giác đều lần lượt là $x;h (x,h>0)$
Ta có đáy là hình vuông với độ dài nửa đường chéo bằng $\dfrac{x}{\sqrt{2}}$ suy ra độ dàu cạnh bên $l=\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}$
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $R=\dfrac{{{l}^{2}}}{2h}=\dfrac{{{h}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}{2h}=9\Leftrightarrow {{x}^{2}}=36h-2{{h}^{2}}$
Diện tích đáy của hình chóp $S={{x}^{2}}$ nên $V=\dfrac{1}{3}h.{{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}h\left( 36h-2{{h}^{2}} \right)$
Ta có $\dfrac{1}{3}h.\left( 36h-2{{h}^{2}} \right)=\dfrac{1}{3}.h.h\left( 36-2h \right)\le \dfrac{1}{3}.{{\left( \dfrac{h+h+36-2h}{3} \right)}^{3}}=576\Rightarrow V\le 576$, dấu bằng xảy ra khi $h=h=36-2h\Leftrightarrow h=12,x=12$. Vậy ${{V}_{\max }}=576$
Ta có đáy là hình vuông với độ dài nửa đường chéo bằng $\dfrac{x}{\sqrt{2}}$ suy ra độ dàu cạnh bên $l=\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}$
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $R=\dfrac{{{l}^{2}}}{2h}=\dfrac{{{h}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}{2h}=9\Leftrightarrow {{x}^{2}}=36h-2{{h}^{2}}$
Diện tích đáy của hình chóp $S={{x}^{2}}$ nên $V=\dfrac{1}{3}h.{{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}h\left( 36h-2{{h}^{2}} \right)$
Ta có $\dfrac{1}{3}h.\left( 36h-2{{h}^{2}} \right)=\dfrac{1}{3}.h.h\left( 36-2h \right)\le \dfrac{1}{3}.{{\left( \dfrac{h+h+36-2h}{3} \right)}^{3}}=576\Rightarrow V\le 576$, dấu bằng xảy ra khi $h=h=36-2h\Leftrightarrow h=12,x=12$. Vậy ${{V}_{\max }}=576$
Đáp án B.