Trong tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số...

Theo yêu cầu bài toán thì đồ thị phải có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang
+) Đồ thị có 2 tiệm cận ngang thì $m>0(\ast )\Rightarrow y={\displaystyle \frac{x-4}{\sqrt{m{x}^2+m^2-17}}}\sim {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{m{x}^2}}}=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{m}}}$ khi $x\to \pm \mathrm{\infty }$.
Nghĩa là đồ thị có 2 tiêm cận ngang $y=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{m}}}$
+) Đồ thị có 2 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $f\left(x\right)=m{x}^2+m^2-17=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 4
$\iff \{\begin{array}{rl}& m(17-m^2)>0(\ast )\\ & f\left(4\right)=m^2+16m-17\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 0<m<\sqrt{17}\\ & m\notin \{1;-17\}\end{array}\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \{2;3;4\}$