Google
Câu hỏi: Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1$. Tính tích các số dương m để tổn tại duy nhất cặp (x; y) sao cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$.
A. $\sqrt{10}$.
B. 64.
C. 2.
D. 8.
A. $\sqrt{10}$.
B. 64.
C. 2.
D. 8.
Ta có: ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}(4x+4y-4)\ge 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0$ (1)
Giả sử M(x;y) thỏa mãn bất phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 2;2 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$
Vì m > 0 nên dễ thấy ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$ là phương trình đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $J\left( -1;1 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{m}$
Vậy để tồn tại duy nhất cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài khi chỉ khi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& IJ={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
& IJ={{R}_{1}}-{{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{10}=\sqrt{m}+\sqrt{2} \\
& \sqrt{10}=\sqrt{m}-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{(\sqrt{10}-\sqrt{2})}^{2}} \\
& m={{(\sqrt{10}+\sqrt{2})}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Tích các số m: ${{\left( \left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{10}+\sqrt{2} \right) \right)}^{2}}=64.$
Giả sử M(x;y) thỏa mãn bất phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 2;2 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$
Vì m > 0 nên dễ thấy ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$ là phương trình đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $J\left( -1;1 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{m}$
Vậy để tồn tại duy nhất cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài khi chỉ khi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& IJ={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
& IJ={{R}_{1}}-{{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{10}=\sqrt{m}+\sqrt{2} \\
& \sqrt{10}=\sqrt{m}-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{(\sqrt{10}-\sqrt{2})}^{2}} \\
& m={{(\sqrt{10}+\sqrt{2})}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Tích các số m: ${{\left( \left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{10}+\sqrt{2} \right) \right)}^{2}}=64.$
Đáp án B.