Google
Câu hỏi: Trong tất cả các cặp số thực $\left(x; y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3}}\left(2x+2y+5 \right)\ge 1$, có bao nhiêu giá trị thực của $m$ để tồn tại duy nhất cặp $\left(x; y \right)$ sao cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y+13-m=0$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $0$
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $0$
Ta có. ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3}}\left( 2x+2y+5 \right)\ge 1$ $\Leftrightarrow 2x+2y+5\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2\le 0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 4 $ $\left( 1 \right)$.
$\left( 1 \right)$ là hình tròn $\left( C \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2$.
Mặt khác ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y+13-m=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=m\left( 2 \right)$.
Với $m=0$, $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=-3 \\
\end{aligned} \right. $. Ta thấy $ \left( x;y \right)=\left( -2;-3 \right) $ không thỏa mãn bất phương trình $ \left( 1 \right)$.
Với $m<0$, không tồn tại cặp $\left( x; y \right)$ thỏa mãn $\left( 2 \right)$.
Với $m>0$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ là phương trình đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm ${{I}_{2}}\left( -2;-3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{m}$.
Tồn tại duy nhất cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ khi và chỉ khi $\left( C \right)$ và $\left( {{C}'} \right)$ có một điểm chung duy nhất $\Leftrightarrow $ hình tròn $\left( C \right)$ và đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau, hoặc hình tròn $\left( C \right)$ nằm trong $\left( {{C}'} \right)$ và tiếp xúc trong với nhau $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{2}}-{{R}_{1}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 5=\sqrt{m}+2 \\
& 5=\sqrt{m}-2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m=49 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2\le 0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 4 $ $\left( 1 \right)$.
$\left( 1 \right)$ là hình tròn $\left( C \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2$.
Mặt khác ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y+13-m=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=m\left( 2 \right)$.
Với $m=0$, $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=-3 \\
\end{aligned} \right. $. Ta thấy $ \left( x;y \right)=\left( -2;-3 \right) $ không thỏa mãn bất phương trình $ \left( 1 \right)$.
Với $m<0$, không tồn tại cặp $\left( x; y \right)$ thỏa mãn $\left( 2 \right)$.
Với $m>0$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ là phương trình đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm ${{I}_{2}}\left( -2;-3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{m}$.
Tồn tại duy nhất cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ khi và chỉ khi $\left( C \right)$ và $\left( {{C}'} \right)$ có một điểm chung duy nhất $\Leftrightarrow $ hình tròn $\left( C \right)$ và đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau, hoặc hình tròn $\left( C \right)$ nằm trong $\left( {{C}'} \right)$ và tiếp xúc trong với nhau $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{2}}-{{R}_{1}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 5=\sqrt{m}+2 \\
& 5=\sqrt{m}-2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m=49 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.