Trong tất cả các cặp số thực $\left(x; y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3}}\left(2x+2y+5 \right)\ge 1$, có bao nhiêu giá trị...

Ta có.
.
là hình tròn tâm , bán kính .
Mặt khác .
Với , . Ta thấy không thỏa mãn bất phương trình .
Với , không tồn tại cặp thỏa mãn .
Với thì phương trình là phương trình đường tròn tâm , bán kính .

Tồn tại duy nhất cặp số thỏa mãn hệ và khi và chỉ khi và có một điểm chung duy nhất hình tròn và đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, hoặc hình tròn nằm trong và tiếp xúc trong với nhau .
Vậy có giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.