Google
Câu hỏi: Trong tập số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}+\left( m-2 \right)z+2m-3=0 \left( 1 \right)$ (với $m$ là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ để $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ và tam giác $OMN$ có một góc bằng $120{}^\circ $ (với $M$, $N$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ)?
A. $-6$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $-4$.
A. $-6$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $-4$.
Vì $O$, $M$, $N$ không thẳng hàng nên ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ không đồng thời là số thực và cũng không đồng thời là số thuần ảo.
$\Rightarrow $ ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình ${{z}^{2}}+\left( m-2 \right)z+2m-3=0$.
Do đó, ta phải có: $\Delta ={{m}^{2}}-12m+16<0$ $\Leftrightarrow m\in \left( 6-2\sqrt{5}; 6+2\sqrt{5} \right)$.
Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-m}{2}-\dfrac{\sqrt{-{{m}^{2}}+12m-16}}{2}i \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-m}{2}+\dfrac{\sqrt{-{{m}^{2}}+12m-16}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2m-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{m}^{2}}+12m-16}$.
Tam giác $OMN$ cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=\cos 120{}^\circ $
$\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-8m+10}{2\left( 2m-3 \right)}=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+7=0$ $\Leftrightarrow m=3\pm \sqrt{2}$ (thỏa mãn).
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của $m$ là $6$.
$\Rightarrow $ ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình ${{z}^{2}}+\left( m-2 \right)z+2m-3=0$.
Do đó, ta phải có: $\Delta ={{m}^{2}}-12m+16<0$ $\Leftrightarrow m\in \left( 6-2\sqrt{5}; 6+2\sqrt{5} \right)$.
Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-m}{2}-\dfrac{\sqrt{-{{m}^{2}}+12m-16}}{2}i \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-m}{2}+\dfrac{\sqrt{-{{m}^{2}}+12m-16}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2m-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{m}^{2}}+12m-16}$.
Tam giác $OMN$ cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=\cos 120{}^\circ $
$\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-8m+10}{2\left( 2m-3 \right)}=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+7=0$ $\Leftrightarrow m=3\pm \sqrt{2}$ (thỏa mãn).
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của $m$ là $6$.
Đáp án B.