Google
Câu hỏi: Trong tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn $\left| \dfrac{z+2-i}{z+1-i} \right|=\sqrt{2}.$ Tìm mô-đun lớn nhất của số phức $z+i.$
A. $2+\sqrt{2}$
B. $3+\sqrt{2}$
C. $2-\sqrt{2}$
D. $3-\sqrt{2}$
A. $2+\sqrt{2}$
B. $3+\sqrt{2}$
C. $2-\sqrt{2}$
D. $3-\sqrt{2}$
Phương pháp:
Đặt dạng tổng quát của số phức $z.$
Áp dụng công thức tính modun số phức.
Cách giải:
Đặt $z=a+bi,$ theo bài ra ta có:
$\left| \dfrac{z+2-i}{z+1-i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| x+2+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| x+1+\left( y-1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2{{\left( y-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2.$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}.$
Gọi $A\left( 0;-1 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $-i,M\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z,$ khi đó ta có $\left| z+i \right|=MA.$
Do đó ${{\left| z+i \right|}_{\max }}\Leftrightarrow M{{A}_{\max }}=IA+R=2+\sqrt{2}.$
Đặt dạng tổng quát của số phức $z.$
Áp dụng công thức tính modun số phức.
Cách giải:
Đặt $z=a+bi,$ theo bài ra ta có:
$\left| \dfrac{z+2-i}{z+1-i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| x+2+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| x+1+\left( y-1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2{{\left( y-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2.$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}.$
Gọi $A\left( 0;-1 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $-i,M\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z,$ khi đó ta có $\left| z+i \right|=MA.$
Do đó ${{\left| z+i \right|}_{\max }}\Leftrightarrow M{{A}_{\max }}=IA+R=2+\sqrt{2}.$
Đáp án A.