Google
Câu hỏi: Trong tập hợp các số phức, gọi ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-z+\dfrac{2017}{4}=0$, với ${{z}_{2}}$ có thành phần ảo dương. Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z-{{z}_{1}} \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-{{z}_{2}} \right|$ là:
A. $\sqrt{2016}-1$.
B. $\dfrac{\sqrt{2017}-1}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2016}-1}{2}$.
D. $\sqrt{2017}-1$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-z+\dfrac{2017}{4}=0$
Ta có: $\Delta =-2016<0\Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm phức $\left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2016}}{2}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2016}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=i\sqrt{2016}$
$\left| z-{{z}_{2}} \right|=\left| \left( z-{{z}_{1}} \right)+\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right) \right|\ge \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|-\left| z-{{z}_{1}} \right|\Leftrightarrow P\ge \sqrt{2016}-1$.
Vậy ${{P}_{\min }}=\sqrt{2016}-1$.
A. $\sqrt{2016}-1$.
B. $\dfrac{\sqrt{2017}-1}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2016}-1}{2}$.
D. $\sqrt{2017}-1$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-z+\dfrac{2017}{4}=0$
Ta có: $\Delta =-2016<0\Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm phức $\left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2016}}{2}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2016}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=i\sqrt{2016}$
$\left| z-{{z}_{2}} \right|=\left| \left( z-{{z}_{1}} \right)+\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right) \right|\ge \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|-\left| z-{{z}_{1}} \right|\Leftrightarrow P\ge \sqrt{2016}-1$.
Vậy ${{P}_{\min }}=\sqrt{2016}-1$.
Đáp án A.