Google
Câu hỏi: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng kết hợp là ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$ dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn ${{O}_{1}}$ còn nguồn ${{O}_{2}}$ nằm trên trục Oy. Hai điểm M và N di động trên trục Ox thỏa mãn OM = a; ON = b (a < b). Biết rằng ab = 324 cm2; ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=18cm$ và b thuộc đoạn $\left[ 21,6;24 \right]$ cm. Khi góc MO2N có giá trị lớn nhất thì thấy rằng M và N dao động với biên độ cực đại và giữa chúng có hai cực tiểu. Hỏi có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối hai nguồn (không xét 2 nguồn)?
A. 22.
B. 25.
C. 23.
D. 21.
HD: Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \tan \alpha =\dfrac{a}{d} \\
& \tan \beta =\dfrac{b}{d} \\
\end{aligned} \right. $ với $ d={{O}_{1}}{{O}_{2}}=18cm.$
$\tan M{{O}_{2}}N=\tan \left( \beta -\alpha \right)=\dfrac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }=\dfrac{\dfrac{a}{d}-\dfrac{b}{d}}{1+\dfrac{a}{d}\dfrac{b}{d}}=\dfrac{d\left( a-b \right)}{{{d}^{2}}+ab}$
Kết hợp $ab=324\Rightarrow a=\dfrac{324}{b}$
$\Rightarrow \tan M{{O}_{2}}N=\tan \left( \beta -\alpha \right)=\dfrac{1}{36}\left( b-\dfrac{324}{b} \right)=f\left( b \right).$
Ta có ${f}'\left( b \right)=\dfrac{1}{36}\left( 1+\dfrac{324}{{{b}^{2}}} \right)>0,\forall b$ trong $\left[ 21,6;24 \right].$
$\Rightarrow M{{O}_{2}}N$ cực đại khi $b=24cm.\Rightarrow a=13,5cm,{{O}_{2}}N=30cm,{{O}_{2}}M=22,5cm.$
M và N là hai cực đại ứng với bậc k và k + 2, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{O}_{2}}M-a=\left( k+2 \right)\lambda \\
& {{O}_{2}}N-b=k\lambda \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 22,5-13,5=\left( k+2 \right)\lambda \\
& 30-24=k\lambda \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \lambda =1,5 cm.$
Số cực đại giao thoa trên ${{O}_{1}}{{O}_{2}}:-\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }\le k\le \dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }\Leftrightarrow -\dfrac{18}{1,5}<k<\dfrac{18}{1,5}\Leftrightarrow -12<k<12$
$\Rightarrow $ có 23 điểm.
A. 22.
B. 25.
C. 23.
D. 21.
HD: Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \tan \alpha =\dfrac{a}{d} \\
& \tan \beta =\dfrac{b}{d} \\
\end{aligned} \right. $ với $ d={{O}_{1}}{{O}_{2}}=18cm.$
$\tan M{{O}_{2}}N=\tan \left( \beta -\alpha \right)=\dfrac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }=\dfrac{\dfrac{a}{d}-\dfrac{b}{d}}{1+\dfrac{a}{d}\dfrac{b}{d}}=\dfrac{d\left( a-b \right)}{{{d}^{2}}+ab}$
Kết hợp $ab=324\Rightarrow a=\dfrac{324}{b}$
$\Rightarrow \tan M{{O}_{2}}N=\tan \left( \beta -\alpha \right)=\dfrac{1}{36}\left( b-\dfrac{324}{b} \right)=f\left( b \right).$
Ta có ${f}'\left( b \right)=\dfrac{1}{36}\left( 1+\dfrac{324}{{{b}^{2}}} \right)>0,\forall b$ trong $\left[ 21,6;24 \right].$
$\Rightarrow M{{O}_{2}}N$ cực đại khi $b=24cm.\Rightarrow a=13,5cm,{{O}_{2}}N=30cm,{{O}_{2}}M=22,5cm.$
M và N là hai cực đại ứng với bậc k và k + 2, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{O}_{2}}M-a=\left( k+2 \right)\lambda \\
& {{O}_{2}}N-b=k\lambda \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 22,5-13,5=\left( k+2 \right)\lambda \\
& 30-24=k\lambda \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \lambda =1,5 cm.$
Số cực đại giao thoa trên ${{O}_{1}}{{O}_{2}}:-\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }\le k\le \dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }\Leftrightarrow -\dfrac{18}{1,5}<k<\dfrac{18}{1,5}\Leftrightarrow -12<k<12$
$\Rightarrow $ có 23 điểm.
Đáp án C.
