Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( -1;-4;4 \right),B\left( 1;7;-2 \right)$ và $C\left( 1;4;-2 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right):2x+by+cz+d=0$ qua A và thỏa $T=d\left( B;\left( P \right) \right)+2d\left( C;\left( P \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng $b+c+d.$
A. 77.
B. 52.
C. 10.
D. 65.
- Trường hợp 1: B và C nằm cùng phía so với $\left( P \right)$ (*).
Gọi E là đối xứng với A qua C thì $E\left( 3;12;-8 \right)$
Gọi I là trung điểm của BE thì $I\left( 2;\dfrac{19}{2};-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( 3;\dfrac{27}{2};-9 \right)\Rightarrow AI=\dfrac{33}{2}.$
Khi đó $T=d\left( B;\left( P \right) \right)+2d\left( C;\left( P \right) \right)=d\left( B;\left( P \right) \right)+d\left( E;\left( P \right) \right)=2d\left( I;\left( P \right) \right)\le 2IA=\dfrac{33}{2}.$
Do đó $\max T=\dfrac{33}{2}$ đạt được khi $IA\bot \left( P \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A nhận $\overrightarrow{n}=\left( 2;9;-6 \right)$ làm VTPT nên:
$\left( P \right):2x+9y-6z+62=0$ (thỏa mãn (*)).
- Trường hợp 2: B và C nằm khác phía so với (P).
Lấy điểm F thỏa mãn $\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{AC}$ thì $F\left( -5;20;16 \right)$ và $K\left( -2;\dfrac{13}{2};7 \right)$ là trung điểm của BF.
Khi đó
$T=d\left( B;\left( P \right) \right)+2d\left( C;\left( P \right) \right)=d\left( B;\left( P \right) \right)+d\left( E;\left( P \right) \right)=2d\left( K;\left( P \right) \right)\le 2KA=\sqrt{65}<\dfrac{33}{2}.$
Vậy mặt phẳng thỏa mãn là $\left( P \right):2x+9y-6z+62=0$. Suy ra $b+c+d=65.$
A. 77.
B. 52.
C. 10.
D. 65.
Gọi E là đối xứng với A qua C thì $E\left( 3;12;-8 \right)$
Gọi I là trung điểm của BE thì $I\left( 2;\dfrac{19}{2};-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( 3;\dfrac{27}{2};-9 \right)\Rightarrow AI=\dfrac{33}{2}.$
Khi đó $T=d\left( B;\left( P \right) \right)+2d\left( C;\left( P \right) \right)=d\left( B;\left( P \right) \right)+d\left( E;\left( P \right) \right)=2d\left( I;\left( P \right) \right)\le 2IA=\dfrac{33}{2}.$
Do đó $\max T=\dfrac{33}{2}$ đạt được khi $IA\bot \left( P \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A nhận $\overrightarrow{n}=\left( 2;9;-6 \right)$ làm VTPT nên:
$\left( P \right):2x+9y-6z+62=0$ (thỏa mãn (*)).
- Trường hợp 2: B và C nằm khác phía so với (P).
Lấy điểm F thỏa mãn $\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{AC}$ thì $F\left( -5;20;16 \right)$ và $K\left( -2;\dfrac{13}{2};7 \right)$ là trung điểm của BF.
Khi đó
$T=d\left( B;\left( P \right) \right)+2d\left( C;\left( P \right) \right)=d\left( B;\left( P \right) \right)+d\left( E;\left( P \right) \right)=2d\left( K;\left( P \right) \right)\le 2KA=\sqrt{65}<\dfrac{33}{2}.$
Vậy mặt phẳng thỏa mãn là $\left( P \right):2x+9y-6z+62=0$. Suy ra $b+c+d=65.$
Đáp án D.