Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai số phức ${{z}_{1}}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${{z}_{2}}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1$, $ \left| {{z}_{2}} \right|=3$ và $\widehat{MON}=120{}^\circ $. Giá trị lớn nhất của $\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|$ là ${{M}_{0}}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|$ là ${{m}_{0}}$. Biết ${{M}_{0}}+{{m}_{0}}=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d$, với $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$. Tính $a+b+c+d$ ?
A. $9$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $6$.
Gọi ${{M}_{1}}$ là điểm biểu diễn của số phức $3{{z}_{1}}$, suy ra $O{{M}_{1}}=3$.
Gọi ${{N}_{1}}$ là điểm biểu diễn của số phức $2{{z}_{2}}$, suy ra $O{{N}_{1}}=6$. Gọi $P$ là điểm sao cho $\overrightarrow{O{{M}_{1}}}+\overrightarrow{O{{N}_{1}}}=\overrightarrow{OP}$. Suy ra tứ giác $O{{M}_{1}}P{{N}_{1}}$ là hình bình hành.
Do từ giả thiết $\widehat{MON}=120{}^\circ $, suy ra $\widehat{{{M}_{1}}O{{N}_{1}}}=120{}^\circ $.
Dùng định lí cosin trong tam giác $O{{M}_{1}}{{N}_{1}}$ ta tính được ${{M}_{1}}{{N}_{1}}=\sqrt{9+36-2.3.6.\left( -\dfrac{1}{2} \right)}=3\sqrt{7}$ ;
và định lí cosin trong tam giác $O{{M}_{1}}P$ ta có $OP=\sqrt{9+36-2.3.6.\dfrac{1}{2}}=3\sqrt{3}$.
Ta có ${{M}_{1}}{{N}_{1}}=\left| 3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{7}$ ; $OP=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}$.
+ Tìm giá trị lớn nhất của $\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|$.
Đặt $3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}={{w}_{1}}\Rightarrow \left| {{w}_{1}} \right|=3\sqrt{3}$, suy ra điểm biểu diễn ${{w}_{1}}$ là $A$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3\sqrt{3}$. Gọi điểm ${{Q}_{1}}$ là biểu diễn số phức $3i$.
Khi đó $\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|=A{{Q}_{1}}$, bài toán trở thành tìm ${{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}$ biết điểm $A$ trên đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$. Dễ thấy ${{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}=O{{Q}_{1}}+{{R}_{1}}=3+3\sqrt{3}$.
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|=\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|$.
Đặt $3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}={{w}_{2}}\Rightarrow \left| {{w}_{2}} \right|=3\sqrt{7}$, suy ra điểm biểu diễn ${{w}_{2}}$ là $B$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3\sqrt{7}$. Gọi điểm ${{Q}_{2}}$ là biểu diễn số phức $-1+2i$.
Khi đó $\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|=B{{Q}_{2}}$, bài toán trở thành tìm ${{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}$ biết điểm $B$ trên đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$. Dễ thấy điểm ${{Q}_{2}}$ nằm trong đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ nên ${{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}={{R}_{2}}-O{{Q}_{2}}=3\sqrt{7}-\sqrt{5}$.
Vậy ${{M}_{0}}+{{m}_{0}}=3\sqrt{7}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}+3$.
A. $9$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $6$.
Gọi ${{M}_{1}}$ là điểm biểu diễn của số phức $3{{z}_{1}}$, suy ra $O{{M}_{1}}=3$.
Gọi ${{N}_{1}}$ là điểm biểu diễn của số phức $2{{z}_{2}}$, suy ra $O{{N}_{1}}=6$. Gọi $P$ là điểm sao cho $\overrightarrow{O{{M}_{1}}}+\overrightarrow{O{{N}_{1}}}=\overrightarrow{OP}$. Suy ra tứ giác $O{{M}_{1}}P{{N}_{1}}$ là hình bình hành.
Do từ giả thiết $\widehat{MON}=120{}^\circ $, suy ra $\widehat{{{M}_{1}}O{{N}_{1}}}=120{}^\circ $.
Dùng định lí cosin trong tam giác $O{{M}_{1}}{{N}_{1}}$ ta tính được ${{M}_{1}}{{N}_{1}}=\sqrt{9+36-2.3.6.\left( -\dfrac{1}{2} \right)}=3\sqrt{7}$ ;
và định lí cosin trong tam giác $O{{M}_{1}}P$ ta có $OP=\sqrt{9+36-2.3.6.\dfrac{1}{2}}=3\sqrt{3}$.
Ta có ${{M}_{1}}{{N}_{1}}=\left| 3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{7}$ ; $OP=\left| 3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=3\sqrt{3}$.
+ Tìm giá trị lớn nhất của $\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|$.
Đặt $3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}={{w}_{1}}\Rightarrow \left| {{w}_{1}} \right|=3\sqrt{3}$, suy ra điểm biểu diễn ${{w}_{1}}$ là $A$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3\sqrt{3}$. Gọi điểm ${{Q}_{1}}$ là biểu diễn số phức $3i$.
Khi đó $\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|=A{{Q}_{1}}$, bài toán trở thành tìm ${{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}$ biết điểm $A$ trên đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$. Dễ thấy ${{\left( A{{Q}_{1}} \right)}_{max}}=O{{Q}_{1}}+{{R}_{1}}=3+3\sqrt{3}$.
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|=\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|$.
Đặt $3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}={{w}_{2}}\Rightarrow \left| {{w}_{2}} \right|=3\sqrt{7}$, suy ra điểm biểu diễn ${{w}_{2}}$ là $B$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3\sqrt{7}$. Gọi điểm ${{Q}_{2}}$ là biểu diễn số phức $-1+2i$.
Khi đó $\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}-\left( -1+2i \right) \right|=B{{Q}_{2}}$, bài toán trở thành tìm ${{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}$ biết điểm $B$ trên đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$. Dễ thấy điểm ${{Q}_{2}}$ nằm trong đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ nên ${{\left( B{{Q}_{2}} \right)}_{\min }}={{R}_{2}}-O{{Q}_{2}}=3\sqrt{7}-\sqrt{5}$.
Vậy ${{M}_{0}}+{{m}_{0}}=3\sqrt{7}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}+3$.
Đáp án B.