Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, điểm $M\left( x;y \right)$...

Điều kiện: $9x+18>0\Leftrightarrow x>-2$.
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 9x+18 \right)+x=y+{{3}^{y}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)+x+2=y+{{3}^{y}}$
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+2 \right)$, $t\in \mathbb{R}$. Khi đó ta có: $t+{{3}^{t}}=y+{{3}^{y}} \left( * \right)$
Ta thấy hàm số $f\left( x \right)=x+{{3}^{x}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ( do ${f}'\left( x \right)=1+{{3}^{x}}.\ln 3>0 \forall x\in \mathbb{R}$ )
Suy ra $ \left( * \right)\Leftrightarrow t=y\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=y\Leftrightarrow x+2={{3}^{y}}$
Do $M$ có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm $O$ bán kính $R=7$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 49 \\
& x,y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $-1\le x\le 7\Rightarrow 1\le x+2\le 9\Rightarrow {{3}^{0}}\le {{3}^{y}}\le {{3}^{2}}\Rightarrow y\in \left\{ 0;1;2 \right\}$
Trường hợp 1: $y=0\Rightarrow x=-1$ ( thỏa mãn)
Trường hợp 2: $y=1\Rightarrow x=1$ ( thỏa mãn)
Trường hợp 3: $y=2\Rightarrow x=7$ ( loại)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là $\left( -1;0 \right),\left( 1;1 \right)$.