Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$...

Điều kiện: $9x+18>0\iff x>-2$.
Ta có: ${\log }_3(9x+18)+x=y+3^y\iff {\log }_3(x+2)+x+2=y+3^y$
Đặt $t={\log }_3(x+2)$, $t\in \mathbb{R}$. Khi đó ta có: $t+3^t=y+3^y(\ast )$
Ta thấy hàm số $f\left(x\right)=x+3^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ( do $f^{\prime }\left(x\right)=1+3^x.\ln 3>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ )
Suy ra $(\ast )\iff t=y\Rightarrow {\log }_3(x+2)=y\iff x+2=3^y$
Do $M$ có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm $O$ bán kính $R=7$ nên $\{\begin{array}{rl}& x^2+y^2\le 49\\ & x,y\in \mathbb{Z}\end{array}$
Khi đó $-1\le x\le 7\Rightarrow 1\le x+2\le 9\Rightarrow 3^0\le 3^y\le 3^2\Rightarrow y\in \{0;1;2\}$
Trường hợp 1: $y=0\Rightarrow x=-1$ ( thỏa mãn)
Trường hợp 2: $y=1\Rightarrow x=1$ ( thỏa mãn)
Trường hợp 3: $y=2\Rightarrow x=7$ ( loại)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là $(-1;0),(1;1)$.