Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-y-2z-2=0$ và đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$. Biết mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\left( d \right)$ và tạo với $\left( \alpha \right)$ một góc nhỏ nhất có phương trình dạng $ax+by+cz+3=0$. Giá trị của $T=a.b.c$ bằng:
A. $T=0$.
B. $T=4$.
C. $T=-1$.
D. $T=-2$.
A. $T=0$.
B. $T=4$.
C. $T=-1$.
D. $T=-2$.
+ $\left( \alpha \right)$ có một VTPT là: $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 2;-1;-2 \right)$ và $\left( d \right)$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( -1; 2; 1 \right)$.
+ VTPT của $\left( P \right)$ có dạng $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$.
+ Vì $(P)$ chứa $\left( d \right)$ nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -a+2b+c=0\Leftrightarrow c=a-2b$.
+ Ta có: $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}$ $=\dfrac{\left| 2a-b-2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}-4ab+5{{b}^{2}}}}$.
TH1: Nếu $b=0$ thì $\left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)={{90}^{{}^\circ }}$.
TH2: Nếu $b\ne 0$ thì $\left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)$ nhỏ nhất khi $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2{{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{2}}-4\dfrac{a}{b}+5}}$ lớn nhất.
Ta có: $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2{{\left( \dfrac{a}{b}-1 \right)}^{2}}+3}}$ lớn nhất khi $\dfrac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$
So sánh hai trường hợp ta thấy $\left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)$ nhỏ nhất khi $a=b$ nên $\overrightarrow{n}=\left( a;a;-a \right)$.
Do đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là:
$a\left( x-0 \right)+a\left( y+1 \right)-a\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+ay-az+3a=0$.
Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình dạng $ax+by+cz+3=0$ nên $a=1\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$
Vậy $T=-1$.
+ VTPT của $\left( P \right)$ có dạng $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$.
+ Vì $(P)$ chứa $\left( d \right)$ nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -a+2b+c=0\Leftrightarrow c=a-2b$.
+ Ta có: $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}$ $=\dfrac{\left| 2a-b-2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}-4ab+5{{b}^{2}}}}$.
TH1: Nếu $b=0$ thì $\left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)={{90}^{{}^\circ }}$.
TH2: Nếu $b\ne 0$ thì $\left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)$ nhỏ nhất khi $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2{{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{2}}-4\dfrac{a}{b}+5}}$ lớn nhất.
Ta có: $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2{{\left( \dfrac{a}{b}-1 \right)}^{2}}+3}}$ lớn nhất khi $\dfrac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$
So sánh hai trường hợp ta thấy $\left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)$ nhỏ nhất khi $a=b$ nên $\overrightarrow{n}=\left( a;a;-a \right)$.
Do đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là:
$a\left( x-0 \right)+a\left( y+1 \right)-a\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+ay-az+3a=0$.
Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình dạng $ax+by+cz+3=0$ nên $a=1\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$
Vậy $T=-1$.
Đáp án C.