Trong mặt phẳng tọa độ $O x y z$ , cho bốn điểm $A\left( 0;-1;2...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ

O x y z

, cho bốn điểm

A (0; - 1; 2), B (2; - 3; 0), C (- 2; 1; 1), D (0; - 1; 3)

. Gọi

(L)

là tập hợp tất cả các điểm

M

trong không gian thỏa mãn đẳng thức

\vec{M A} . \vec{M B} = \vec{M C} . \vec{M D} = 1

. Biết rằng

(L)

là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính

r

bằng bao nhiêu?
A.

r = \frac{\sqrt{11}}{2}

B.

r = \frac{\sqrt{7}}{2}

C.

r = \frac{\sqrt{3}}{2}

D.

r = \frac{\sqrt{5}}{2}

Ta có:

\vec{M A} . \vec{M B} = 1 \Leftrightarrow x (x - 2) + (y + 1) (y + 3) + (z - 2) z = 1

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4 \Rightarrow M \in (S_{1})

có tâm

I_{1} (1; - 2; 1), R_{1} = 2

.
Lại có:

\vec{M C} . \vec{M D} = 1 \Leftrightarrow (x + 2) x + (y - 1) (y + 1) + (z - 1) (z - 3) = 1

\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4 \Rightarrow M \in (S_{2})

có tâm

I_{2} (- 1; 0; 2), R_{2} = 2

.
Mặt phẳng giao tuyến của

(S_{1}), (S_{2})

là

(P) : 4 x - 4 y - 2 z - 1 = 0

.
Khoảng cách từ tâm

I_{1} \to (P)

là

d [I_{1}; (P)] = \frac{| 4.1 - 4. (- 2) - 2.1 - 1 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{3}{2}

.
Vậy bán kính đường tròn cần tìm là

r = \sqrt{R_{1}^{2} - d^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}

.

Đáp án B.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( 0;-1;2...