Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 0;-1;2 \right),B\left( 2;-3;0 \right),C\left( -2;1;1 \right),D\left( 0;-1;3 \right)$. Gọi $\left( L \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1$. Biết rằng $\left( L \right)$ là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính $r$ bằng bao nhiêu?
A. $r=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$
B. $r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
C. $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
A. $r=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$
B. $r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
C. $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Ta có: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=1\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)+\left( y+1 \right)\left( y+3 \right)+\left( z-2 \right)z=1$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow M\in \left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;-2;1 \right),\ {{R}_{1}}=2$.
Lại có: $\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1\Leftrightarrow \left( x+2 \right)x+\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+\left( z-1 \right)\left( z-3 \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4\Rightarrow M\in \left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;0;2 \right),\ {{R}_{2}}=2$.
Mặt phẳng giao tuyến của $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ là $\left( P \right):4x-4y-2z-1=0$.
Khoảng cách từ tâm ${{I}_{1}}\to \left( P \right)$ là $d\left[ {{I}_{1}};\left( P \right) \right]=\dfrac{\left| 4.1-4.\left( -2 \right)-2.1-1 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{2}$.
Vậy bán kính đường tròn cần tìm là $r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{d}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow M\in \left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;-2;1 \right),\ {{R}_{1}}=2$.
Lại có: $\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1\Leftrightarrow \left( x+2 \right)x+\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+\left( z-1 \right)\left( z-3 \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4\Rightarrow M\in \left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;0;2 \right),\ {{R}_{2}}=2$.
Mặt phẳng giao tuyến của $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ là $\left( P \right):4x-4y-2z-1=0$.
Khoảng cách từ tâm ${{I}_{1}}\to \left( P \right)$ là $d\left[ {{I}_{1}};\left( P \right) \right]=\dfrac{\left| 4.1-4.\left( -2 \right)-2.1-1 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{2}$.
Vậy bán kính đường tròn cần tìm là $r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{d}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
Đáp án B.