Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=\dfrac{1+iz}{1+z}$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$. Môđun của $z$ thuộc tập nào dưới đây?
A. $\left\{ \dfrac{1}{2};2 \right\}$.
B. $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2} \right\}$.
C. $\left\{ \sqrt{2};2 \right\}$.
D. $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2}};2 \right\}$.
A. $\left\{ \dfrac{1}{2};2 \right\}$.
B. $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2} \right\}$.
C. $\left\{ \sqrt{2};2 \right\}$.
D. $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2}};2 \right\}$.
Điều kiện $z\ne -1$.
Đặt $w=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, điểm $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Đặt ${{\left| z \right|}^{2}}=t.$ Ta có $w=\dfrac{1+iz}{1+z}\Leftrightarrow w\left( 1+z \right)=1+iz\Leftrightarrow z\left( w-i \right)=1-w \left( 1 \right)$.
$\left( 1 \right)\Rightarrow \left| z\left( w-i \right) \right|=\left| 1-w \right|\Leftrightarrow \left| z\left( x+\left( y-1 \right)i \right) \right|=\left| 1-x-yi \right|$
$\Leftrightarrow t\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1 \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$ $\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2x-2yt+t-1=0 \left( 2 \right)$.
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$ nên $t\ne 1$.
Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{2}{t-1}x-\dfrac{2}{t-1}yt+1=0$.
Theo đề bài ta được ${{\left( -\dfrac{1}{t-1} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{t}{t-1} \right)}^{2}}-1=4\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-5t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{2} \\
& t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left| z \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $w=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, điểm $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Đặt ${{\left| z \right|}^{2}}=t.$ Ta có $w=\dfrac{1+iz}{1+z}\Leftrightarrow w\left( 1+z \right)=1+iz\Leftrightarrow z\left( w-i \right)=1-w \left( 1 \right)$.
$\left( 1 \right)\Rightarrow \left| z\left( w-i \right) \right|=\left| 1-w \right|\Leftrightarrow \left| z\left( x+\left( y-1 \right)i \right) \right|=\left| 1-x-yi \right|$
$\Leftrightarrow t\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1 \right]={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$ $\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2x-2yt+t-1=0 \left( 2 \right)$.
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$ nên $t\ne 1$.
Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{2}{t-1}x-\dfrac{2}{t-1}yt+1=0$.
Theo đề bài ta được ${{\left( -\dfrac{1}{t-1} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{t}{t-1} \right)}^{2}}-1=4\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-5t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{2} \\
& t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left| z \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.