Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số...

Điều kiện $z\ne -1$.
Đặt $w=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$, điểm $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Đặt ${\left|z\right|}^2=t.$ Ta có $w={\displaystyle \frac{1+iz}{1+z}}\iff w(1+z)=1+iz\iff z(w-i)=1-w\left(1\right)$.
$\left(1\right)\Rightarrow \left|z(w-i)\right|=|1-w|\iff \left|z(x+(y-1)i)\right|=|1-x-yi|$
$\iff t[x^2+y^2-2y+1]=x^2+y^2-2x+1$ $\iff (t-1)(x^2+y^2)+2x-2yt+t-1=0\left(2\right)$.
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng $2$ nên $t\ne 1$.
Khi đó $\left(2\right)\iff x^2+y^2+{\displaystyle \frac{2}{t-1}}x-{\displaystyle \frac{2}{t-1}}yt+1=0$.
Theo đề bài ta được ${(-{\displaystyle \frac{1}{t-1}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{t}{t-1}}\right)}^2-1=4\iff 2t^2-5t+2=0\iff [\begin{array}{rl}& t=2\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{2}\\ & t={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \left|z\right|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}$.