Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $\left( {{H}_{1}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường
$y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4},y=-\dfrac{{{x}^{2}}}{4},x=-4,x=4$ và hình $\left( {{H}_{2}} \right)$ là hình gồm các điểm $\left( x;y \right)$ thỏa mãn:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 16,{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\ge 4,{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ge 4$.
Cho $({{H}_{1}})$ và $({{H}_{2}})$ quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A. ${{V}_{1}}={{V}_{2}}$
B. ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{2}}$
C. ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$
D. ${{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{2}}$
$y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4},y=-\dfrac{{{x}^{2}}}{4},x=-4,x=4$ và hình $\left( {{H}_{2}} \right)$ là hình gồm các điểm $\left( x;y \right)$ thỏa mãn:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 16,{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\ge 4,{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ge 4$.
A. ${{V}_{1}}={{V}_{2}}$
B. ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{2}}$
C. ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$
D. ${{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{2}}$
• Thể tích khối trụ bán kính $r=4$, chiều cao $h=8$ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{.4}^{2}}.8=128\pi $.
• Thể tích giới hạn bởi parabol $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$, trục tung, đường thẳng $y=4$ quay quanh Oy là
${{V}_{\left( P \right)}}=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}dy}=\pi \int\limits_{0}^{4}{4ydy=32\pi }$.
Suy ra thể tích $\left( {{H}_{1}} \right)$ và ${{V}_{1}}=V-2.{{V}_{\left( P \right)}}=128\pi -2.32\pi =64\pi $.
• Thể tích khối cầu bán kính $R=4$ là ${{V}_{L}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{256}{3}\pi $.
• Thể tích khối cầu bán kính $r=2$ là ${{V}_{N}}=\dfrac{4}{3}\pi {{2}^{3}}=\dfrac{32}{3}\pi $.
Suy ra thể tích $\left( {{H}_{2}} \right)$ là ${{V}_{2}}={{V}_{L}}-2.{{V}_{N}}=\dfrac{256\pi }{3}-\dfrac{2.32\pi }{3}=64\pi $.
Vậy ${{V}_{1}}={{V}_{2}}$.
• Thể tích giới hạn bởi parabol $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$, trục tung, đường thẳng $y=4$ quay quanh Oy là
${{V}_{\left( P \right)}}=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}dy}=\pi \int\limits_{0}^{4}{4ydy=32\pi }$.
Suy ra thể tích $\left( {{H}_{1}} \right)$ và ${{V}_{1}}=V-2.{{V}_{\left( P \right)}}=128\pi -2.32\pi =64\pi $.
• Thể tích khối cầu bán kính $R=4$ là ${{V}_{L}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{256}{3}\pi $.
• Thể tích khối cầu bán kính $r=2$ là ${{V}_{N}}=\dfrac{4}{3}\pi {{2}^{3}}=\dfrac{32}{3}\pi $.
Suy ra thể tích $\left( {{H}_{2}} \right)$ là ${{V}_{2}}={{V}_{L}}-2.{{V}_{N}}=\dfrac{256\pi }{3}-\dfrac{2.32\pi }{3}=64\pi $.
Vậy ${{V}_{1}}={{V}_{2}}$.
Đáp án A.