Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (E) có phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1, \left( a,b>0 \right)$ với ab = 100 và đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=10.$ Tỉ số diện tích elip (E) so với diện tích hình tròn (C) là
A. 20.
B. 10.
C. 0,5.
D. 0,1.
A. 20.
B. 10.
C. 0,5.
D. 0,1.
Ta có
$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\left( a,b>0 \right)\Rightarrow y=\dfrac{b}{a}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
Diện tích (E) là ${{S}_{\left( E \right)}}=4\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{b\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{a}dx}=4\dfrac{b}{a}\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $x=a\sin t,t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=a\operatorname{costdt}.$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0;x=a\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2}$
${{S}_{\left( E \right)}}=4\dfrac{b}{a}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{a}^{2}}.{{\cos }^{2}}tdt=2ab\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\pi ab=100\pi }$
Mà ta có ${{S}_{\left( C \right)}}=\pi .{{R}^{2}}=10\pi .$ Vậy $\dfrac{{{S}_{\left( E \right)}}}{{{S}_{\left( C \right)}}}=\dfrac{100}{10}=10.$
$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\left( a,b>0 \right)\Rightarrow y=\dfrac{b}{a}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
Diện tích (E) là ${{S}_{\left( E \right)}}=4\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{b\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{a}dx}=4\dfrac{b}{a}\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $x=a\sin t,t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=a\operatorname{costdt}.$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0;x=a\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2}$
${{S}_{\left( E \right)}}=4\dfrac{b}{a}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{a}^{2}}.{{\cos }^{2}}tdt=2ab\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\pi ab=100\pi }$
Mà ta có ${{S}_{\left( C \right)}}=\pi .{{R}^{2}}=10\pi .$ Vậy $\dfrac{{{S}_{\left( E \right)}}}{{{S}_{\left( C \right)}}}=\dfrac{100}{10}=10.$
Đáp án B.