Trong mặt phẳng $O x y$ , cho parabol $(P) : y = x^{2}$ ...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Trong mặt phẳng

O x y

, cho parabol

(P) : y = x^{2}

và một điểm

A (a; a^{2})

với

a > 0

nằm trên

(P)

. Gọi

Δ

là tiếp tuyến của

(P)

tại

A

,

d

là đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với

Δ

. Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

(P)

và

d

(phần gạch sọc) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó

a

thuộc khoảng nào sau đây?

A.

(\frac{1}{4}; \frac{2}{3})

.
B.

(1; \frac{3}{2})

.
C.

(0; \frac{1}{4})

.
D.

(\frac{2}{3}; 1)

.

Ta có:

y^{'} = 2 x

nên tiếp tuyến

Δ

có hệ số góc là

2 a

suy ra

d

có hệ số góc là

- \frac{1}{2 a}

. Khi đó đường thẳng

d

có phương trình là :

y = - \frac{1}{2 a} (x - a) + a^{2} = - \frac{x}{2 a} + a^{2} + \frac{1}{2}

.
Phương trình hoành độ giao điểm của

(P)

và

d

là :

x^{2} = - \frac{x}{2 a} + a^{2} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = a \\ x = - a - \frac{1}{2 a} \end{aligned}

Do đó diện tích hình phẳng đã cho là :

S = \int_{- a - \frac{1}{2 a}}^{a} (- x^{2} - \frac{x}{2 a} + a^{2} + \frac{1}{2}) d x = (- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4 a} + (a^{2} + \frac{1}{2}) x) | \begin{aligned} a \\ - a - \frac{1}{2 a} \end{aligned}

= \frac{4 a^{3}}{3} + a + \frac{1}{4 a} + \frac{1}{48 a^{3}} = \frac{1}{6} {(2 a + \frac{1}{2 a})}^{3}

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

S = \frac{1}{6} {(2 a + \frac{1}{2 a})}^{3} \geq \frac{1}{6} {(2 \sqrt{2 a . \frac{1}{2 a}})}^{3} = \frac{4}{3}

.
Dấu bằng xảy ra khi

2 a = \frac{1}{2 a} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \in (\frac{1}{4}; \frac{2}{3})

.

Đáp án A.

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P):y=x2...