Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và một điểm $A\left( a;{{a}^{2}} \right)$ với $a>0$ nằm trên $\left( P \right)$. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại $A$, $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\Delta $. Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ (phần gạch sọc) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3} \right)$.
B. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
C. $\left( 0;\dfrac{1}{4} \right)$.
D. $\left( \dfrac{2}{3};1 \right)$.
B. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
C. $\left( 0;\dfrac{1}{4} \right)$.
D. $\left( \dfrac{2}{3};1 \right)$.
Ta có: ${y}'=2x$ nên tiếp tuyến $\Delta $ có hệ số góc là $2a$ suy ra $d$ có hệ số góc là $-\dfrac{1}{2a}$. Khi đó đường thẳng $d$ có phương trình là : $y=-\dfrac{1}{2a}\left( x-a \right)+{{a}^{2}}=-\dfrac{x}{2a}+{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là : ${{x}^{2}}=-\dfrac{x}{2a}+{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=-a-\dfrac{1}{2a} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó diện tích hình phẳng đã cho là :
$S=\int\limits_{-a-\dfrac{1}{2a}}^{a}{\left( -{{x}^{2}}-\dfrac{x}{2a}+{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2} \right)}dx=\left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4a}+\left( {{a}^{2}}+\dfrac{1}{2} \right)x \right)\left| \begin{aligned}
& a \\
& -a-\dfrac{1}{2a} \\
\end{aligned} \right.$
$=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}+a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{48{{a}^{3}}}=\dfrac{1}{6}{{\left( 2a+\dfrac{1}{2a} \right)}^{3}}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : $S=\dfrac{1}{6}{{\left( 2a+\dfrac{1}{2a} \right)}^{3}}\ge \dfrac{1}{6}{{\left( 2\sqrt{2a.\dfrac{1}{2a}} \right)}^{3}}=\dfrac{4}{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $2a=\dfrac{1}{2a}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\in \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3} \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là : ${{x}^{2}}=-\dfrac{x}{2a}+{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=-a-\dfrac{1}{2a} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó diện tích hình phẳng đã cho là :
$S=\int\limits_{-a-\dfrac{1}{2a}}^{a}{\left( -{{x}^{2}}-\dfrac{x}{2a}+{{a}^{2}}+\dfrac{1}{2} \right)}dx=\left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4a}+\left( {{a}^{2}}+\dfrac{1}{2} \right)x \right)\left| \begin{aligned}
& a \\
& -a-\dfrac{1}{2a} \\
\end{aligned} \right.$
$=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}+a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{48{{a}^{3}}}=\dfrac{1}{6}{{\left( 2a+\dfrac{1}{2a} \right)}^{3}}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : $S=\dfrac{1}{6}{{\left( 2a+\dfrac{1}{2a} \right)}^{3}}\ge \dfrac{1}{6}{{\left( 2\sqrt{2a.\dfrac{1}{2a}} \right)}^{3}}=\dfrac{4}{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $2a=\dfrac{1}{2a}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\in \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3} \right)$.
Đáp án A.