Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $A B C$ có $A B = 1$ ...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Trong mặt phẳng

(P)

cho tam giác

A B C

có

A B = 1

,

A C = 2

,

\hat{B A C} = 60^{\circ}

. Điểm

S

thay đổi
thuộc đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với

(P)

, (

S

khác

A

). Gọi

B_{1}

,

C_{1}

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A

trên

S B

,

S C

. Đường kính

M N

thay đổi của mặt cầu

(T)

ngoại tiếp khối đa diện

A B C B_{1} C_{1}

và

I

là điểm cách tâm mặt cầu

(T)

một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của

I M + I N

.
A.

6 \sqrt{3}

.
B.

\sqrt{20}

.
C.

6

.
D.

2 \sqrt{10}

.

Ta có

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos A = 3 \Rightarrow B C = \sqrt{3}

.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

:

R = \frac{B C}{2 \sin A} = 1

.
Gọi

J

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

,

A^{'}

là điểm đối xứng của

A

qua

J

.
Ta dễ dàng chứng minh được:

A C ⊥ A^{'} C, A B ⊥ A^{'} B, A B_{1} ⊥ A^{'} B_{1}, A C_{1} ⊥ A^{'} C_{1} \Rightarrow A, B, C, A_{1}, B_{1}

đều thuộc mặt cầu tâm

J

, đường kính

A A^{'} = 2 R = 2 = M N

.
Đặt

I M = x, I N = y; x, y \in [2; 4]

.
Nếu

I, J, M, N

thẳng hàng thì

[\begin{aligned} x = 2, y = 4 \\ x = 4, y = 2 \end{aligned} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 20

.
Nếu

I, J, M, N

không thẳng hàng thì

I J^{2} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2} - \frac{M N^{2}}{4}

.

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 (I J^{2} + \frac{M N^{2}}{4}) = 2 (9 + 1) = 20

. Vậy, ta luôn có:

x^{2} + y^{2} = 20

.
Do

x, y \in [2; 4] \Rightarrow (x - 2) (y - 2) \geq 0 \Leftrightarrow x y \geq 2 (x + y) - 4

.

x^{2} + y^{2} = 20 \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} - 20 = 2 x y \geq 4 (x + y) - 8 \Rightarrow {(x + y)}^{2} - 4 (x + y) - 12 \geq 0 \Leftrightarrow x + y \geq 6

.
Vậy

min (x + y) = 6 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 2 \Rightarrow y = 4 \\ y = 2 \Rightarrow x = 4 \end{aligned}

.

Đáp án C.

Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $A B C$ có $A B = 1$ ...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB=1...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $A B C$ có $A B = 1$ ...