Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho tam giác $ABC$ có $AB=1$, $AC=2$, $\widehat{BAC}={{60}^{\circ }}$. Điểm $S$ thay đổi
thuộc đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$, ( $S$ khác $A$ ). Gọi ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, $SC$. Đường kính $MN$ thay đổi của mặt cầu $\left( T \right)$ ngoại tiếp khối đa diện $ABC{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ và $I$ là điểm cách tâm mặt cầu $\left( T \right)$ một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của $IM+IN$.
A. $6\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{20}$.
C. $6$.
D. $2\sqrt{10}$.
Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos A=3\Rightarrow BC=\sqrt{3}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ : $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=1$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $J$.
Ta dễ dàng chứng minh được: $AC\bot {A}'C, AB\bot {A}'B, A{{B}_{1}}\bot {A}'{{B}_{1}}, A{{C}_{1}}\bot {A}'{{C}_{1}}\Rightarrow A, B, C, {{A}_{1}}, {{B}_{1}}$ đều thuộc mặt cầu tâm $J$, đường kính $A{A}'=2R=2=MN$.
Đặt $IM=x, IN=y; x,y\in \left[ 2;4 \right]$.
Nếu $I, J, M, N$ thẳng hàng thì $\left[ \begin{aligned}
& x=2,y=4 \\
& x=4,y=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20$.
Nếu $I, J, M, N$ không thẳng hàng thì $I{{J}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\left( I{{J}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{4} \right)=2\left( 9+1 \right)=20$. Vậy, ta luôn có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20$.
Do $x,y\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow \left( x-2 \right)\left( y-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow xy\ge 2\left( x+y \right)-4$.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-20=2xy\ge 4\left( x+y \right)-8\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-4\left( x+y \right)-12\ge 0\Leftrightarrow x+y\ge 6$.
Vậy $\min \left( x+y \right)=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\Rightarrow y=4 \\
& y=2\Rightarrow x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
thuộc đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$, ( $S$ khác $A$ ). Gọi ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, $SC$. Đường kính $MN$ thay đổi của mặt cầu $\left( T \right)$ ngoại tiếp khối đa diện $ABC{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ và $I$ là điểm cách tâm mặt cầu $\left( T \right)$ một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của $IM+IN$.
A. $6\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{20}$.
C. $6$.
D. $2\sqrt{10}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ : $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=1$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $J$.
Ta dễ dàng chứng minh được: $AC\bot {A}'C, AB\bot {A}'B, A{{B}_{1}}\bot {A}'{{B}_{1}}, A{{C}_{1}}\bot {A}'{{C}_{1}}\Rightarrow A, B, C, {{A}_{1}}, {{B}_{1}}$ đều thuộc mặt cầu tâm $J$, đường kính $A{A}'=2R=2=MN$.
Đặt $IM=x, IN=y; x,y\in \left[ 2;4 \right]$.
Nếu $I, J, M, N$ thẳng hàng thì $\left[ \begin{aligned}
& x=2,y=4 \\
& x=4,y=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20$.
Nếu $I, J, M, N$ không thẳng hàng thì $I{{J}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\left( I{{J}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{4} \right)=2\left( 9+1 \right)=20$. Vậy, ta luôn có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20$.
Do $x,y\in \left[ 2;4 \right]\Rightarrow \left( x-2 \right)\left( y-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow xy\ge 2\left( x+y \right)-4$.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-20=2xy\ge 4\left( x+y \right)-8\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-4\left( x+y \right)-12\ge 0\Leftrightarrow x+y\ge 6$.
Vậy $\min \left( x+y \right)=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\Rightarrow y=4 \\
& y=2\Rightarrow x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.