Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$, đường kính $AB=4.$ Gọi $H$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A.$ Lấy điểm $S$ sao cho $SH\bot \left( P \right)$ và $SH=4.$ Tính diện tích mặt cầu đi qua đường tròn $\left( C \right)$ và điểm $S.$
A. $\pi \sqrt{65}.$
B. $\dfrac{343\pi }{6}.$
C. $65\pi .$
D. $\dfrac{\sqrt{65}}{2}.$
A. $\pi \sqrt{65}.$
B. $\dfrac{343\pi }{6}.$
C. $65\pi .$
D. $\dfrac{\sqrt{65}}{2}.$
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right)$ chứa đường tròn $\left( C \right)$ nên tâm $I$ của $\left( S \right)$ nằm trên đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\left( P \right).$ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OI\bot \left( P \right) \\
& SH\bot \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH//OI.$
Mà $IS=IA$ nên $I$ nằm trên trung trực đoạn $SA.$
$\Rightarrow I$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB.$
Kẻ $IT\bot SH$ tại $T.$ Đặt $OI=x.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{{I}^{2}}=A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}={{x}^{2}}+4.$
Trong hình thang vuông $IOHS$ và tam giác vuông $SIT$ có:
$I{{S}^{2}}=I{{T}^{2}}+S{{T}^{2}}=O{{H}^{2}}+S{{T}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( 4-x \right)}^{2}}={{x}^{2}}-8x+32$
Vì $IA=IS\Rightarrow {{x}^{2}}+4={{x}^{2}}-8x+32\Rightarrow x=\dfrac{7}{2}=OI$
$\Rightarrow AI=\sqrt{{{x}^{2}}+4}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}=R.$
Vậy diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=\dfrac{65{{R}^{2}}}{4}=65\pi .$
Mặt cầu $\left( S \right)$ chứa đường tròn $\left( C \right)$ nên tâm $I$ của $\left( S \right)$ nằm trên đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\left( P \right).$ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OI\bot \left( P \right) \\
& SH\bot \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH//OI.$
Mà $IS=IA$ nên $I$ nằm trên trung trực đoạn $SA.$
$\Rightarrow I$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB.$
Kẻ $IT\bot SH$ tại $T.$ Đặt $OI=x.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{{I}^{2}}=A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}={{x}^{2}}+4.$
Trong hình thang vuông $IOHS$ và tam giác vuông $SIT$ có:
$I{{S}^{2}}=I{{T}^{2}}+S{{T}^{2}}=O{{H}^{2}}+S{{T}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( 4-x \right)}^{2}}={{x}^{2}}-8x+32$
Vì $IA=IS\Rightarrow {{x}^{2}}+4={{x}^{2}}-8x+32\Rightarrow x=\dfrac{7}{2}=OI$
$\Rightarrow AI=\sqrt{{{x}^{2}}+4}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}=R.$
Vậy diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=\dfrac{65{{R}^{2}}}{4}=65\pi .$
Đáp án C.