Google
Câu hỏi: Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( -1;-4;4 \right),B\left( 1;7;-2 \right),C\left( 1;4;-2 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right):2x+by+cz+d=0$ đi qua điểm A. Đặt ${{h}_{1}}=d\left( B,\left( P \right) \right);{{h}_{2}}=2d\left( C,\left( P \right) \right).$ Khi ${{h}_{1}}+{{h}_{2}},$ đạt giá trị lớn nhất, tính $T=b+c+d.$
A. $T=52.$
B. $T=33.$
C. $T=65.$
D. $T=77.$
Ta dựng thêm điểm D sao cho C là trung điểm của $AD\Rightarrow D\left( 3;12;-8 \right)$
Gọi H1, H3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D lên mặt phẳng (P). Khi đó:
$d\left( D,\left( P \right) \right)=2d\left( C,\left( P \right) \right)={{h}_{2}}=D{{H}_{3}}.$
Trường hợp 1: B, C cùng phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).
Gọi I, H lần lượt là trung điểm của $BD,{{H}_{1}}{{H}_{3}}\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{19}{2};-5 \right)$
Suy ra: ${{h}_{1}}+{{h}_{2}}=B{{H}_{1}}+D{{H}_{3}}=2IH\le 2IA=33$ (*)
Trường hợp 2: B, C khác phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).
Suy ra: ${{h}_{1}}+{{h}_{2}}\le BI+DI=BD=\sqrt{65}$ (2*).
Từ (*), (2*) suy ra: ${{\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)}_{\max }}=33.$
Dấu "=" xảy ra khi $IA\bot \left( P \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{IA}=\left( -3;-\dfrac{27}{2};9 \right)//\left( 2;9;-6 \right).$
Suy ra phương trình $\left( P \right):2\left( x+1 \right)+9\left( y+4 \right)-6\left( z-4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( P \right):2x+9y-6z+62=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=9 \\
& c=-6 \\
& d=62 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=65.$
A. $T=52.$
B. $T=33.$
C. $T=65.$
D. $T=77.$
Ta dựng thêm điểm D sao cho C là trung điểm của $AD\Rightarrow D\left( 3;12;-8 \right)$
Gọi H1, H3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D lên mặt phẳng (P). Khi đó:
$d\left( D,\left( P \right) \right)=2d\left( C,\left( P \right) \right)={{h}_{2}}=D{{H}_{3}}.$
Trường hợp 1: B, C cùng phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).
Gọi I, H lần lượt là trung điểm của $BD,{{H}_{1}}{{H}_{3}}\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{19}{2};-5 \right)$
Suy ra: ${{h}_{1}}+{{h}_{2}}=B{{H}_{1}}+D{{H}_{3}}=2IH\le 2IA=33$ (*)
Trường hợp 2: B, C khác phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).
Suy ra: ${{h}_{1}}+{{h}_{2}}\le BI+DI=BD=\sqrt{65}$ (2*).
Từ (*), (2*) suy ra: ${{\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)}_{\max }}=33.$
Dấu "=" xảy ra khi $IA\bot \left( P \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{IA}=\left( -3;-\dfrac{27}{2};9 \right)//\left( 2;9;-6 \right).$
Suy ra phương trình $\left( P \right):2\left( x+1 \right)+9\left( y+4 \right)-6\left( z-4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( P \right):2x+9y-6z+62=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=9 \\
& c=-6 \\
& d=62 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=65.$
Đáp án C.