Google
Câu hỏi: Trong không gian với $Oxyz$, cho các điểm $M\left( 2;1;4 \right)$, $N\left( 5;0;0 \right)$, $P\left( 1;-3;1 \right)$. Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ đồng thời đi qua các điểm $M,N,P.$ Tìm $c$ biết rằng $a+b+c<5$
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
A. 3
B. 2
C. 4
D. 1
HD: Ta thấy rằng: $MN=MN=MQ=\sqrt{26}$ suy ra tam giác $MNP$ đều.
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm $G\left( \dfrac{8}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3} \right).$
Suy ra điểm $I\in \Delta $ là đường thửang qua $G$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( MNP \right)$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}=\left( 3;-1;-4 \right) \\
& \overrightarrow{MP}=\left( -1;-4;-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right]=\left( -13;13;-13 \right)=-13\left( 1;-1;1 \right)$
Suy ra $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8}{3}+t \\
& y=-\dfrac{2}{3}-t \\
& z=\dfrac{5}{3}+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{8}{3}+t;-\dfrac{2}{3}-t;\dfrac{5}{3}+t \right)$
Lại có: $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oyz \right)\Rightarrow d\left( I;\left( Oyz \right) \right)=R=IN$
$\Leftrightarrow \left| t+\dfrac{8}{3} \right|=\sqrt{{{\left( t-\dfrac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\dfrac{16}{3}t+\dfrac{64}{9}=3{{t}^{2}}+\dfrac{26}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{7}{3} \\
& t=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& I\left( 5;-3;4 \right) \\
& I\left( 3;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{a+b+c={{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}<5}I\left( 3;-1;2 \right)\Rightarrow c=2.$
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm $G\left( \dfrac{8}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3} \right).$
Suy ra điểm $I\in \Delta $ là đường thửang qua $G$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( MNP \right)$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}=\left( 3;-1;-4 \right) \\
& \overrightarrow{MP}=\left( -1;-4;-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP} \right]=\left( -13;13;-13 \right)=-13\left( 1;-1;1 \right)$
Suy ra $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8}{3}+t \\
& y=-\dfrac{2}{3}-t \\
& z=\dfrac{5}{3}+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{8}{3}+t;-\dfrac{2}{3}-t;\dfrac{5}{3}+t \right)$
Lại có: $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oyz \right)\Rightarrow d\left( I;\left( Oyz \right) \right)=R=IN$
$\Leftrightarrow \left| t+\dfrac{8}{3} \right|=\sqrt{{{\left( t-\dfrac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\dfrac{16}{3}t+\dfrac{64}{9}=3{{t}^{2}}+\dfrac{26}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{7}{3} \\
& t=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& I\left( 5;-3;4 \right) \\
& I\left( 3;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{a+b+c={{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}<5}I\left( 3;-1;2 \right)\Rightarrow c=2.$
Đáp án B.