Trong không gian với $Oxyz$, cho các điểm $M(2;1;4)$...

HD: Ta thấy rằng: $MN=MN=MQ=\sqrt{26}$ suy ra tam giác $MNP$ đều.
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm $G({\displaystyle \frac{8}{3}};-{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{5}{3}}).$
Suy ra điểm $I\in \mathrm{\Delta }$ là đường thửang qua $G$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(MNP\right)$.
Mặt khác $\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{MN}=(3;-1;-4)\\ & \overrightarrow{MP}=(-1;-4;-3)\end{array}\Rightarrow [\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP}]=(-13;13;-13)=-13(1;-1;1)$
Suy ra $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{8}{3}}+t\\ & y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}-t\\ & z={\displaystyle \frac{5}{3}}+t\end{array}\Rightarrow I({\displaystyle \frac{8}{3}}+t;-{\displaystyle \frac{2}{3}}-t;{\displaystyle \frac{5}{3}}+t)$
Lại có: $\left(S\right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left(Oyz\right)\Rightarrow d(I;\left(Oyz\right))=R=IN$
$\iff |t+{\displaystyle \frac{8}{3}}|=\sqrt{{(t-{\displaystyle \frac{7}{3}})}^2+{(t+{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{(t+{\displaystyle \frac{5}{3}})}^2}\iff t^2+{\displaystyle \frac{16}{3}}t+{\displaystyle \frac{64}{9}}=3t^2+{\displaystyle \frac{26}{3}}\iff [\begin{array}{rl}& t={\displaystyle \frac{7}{3}}\\ & t={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$
Do đó $[\begin{array}{rl}& I(5;-3;4)\\ & I(3;-1;2)\end{array}\stackrel{a+b+c=x_1+y_1+z_1<5}{\to }I(3;-1;2)\Rightarrow c=2.$