Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( 2;3;3 \right),N\left( 2;-1;-1 \right),P\left( -2;-1;3 \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+3y-z+2=0$
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z-10=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+6z+2=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z-2=0$
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z-10=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+6z+2=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z-2=0$
Giả sử phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-3by-2cz+d=0$
Điều kiện: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$ (*)
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua 3 điểm $M\left( 2;3;3 \right),N\left( 2;-1;-1 \right),P\left( -2;-1;3 \right)$ và có tâm $I$ thuộc mp $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 4a+6b+6c-d=22 \\
& 4a-2b-2c-d=6 \\
& 4a+2b-6c+d=-14 \\
& 2a+3b-c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-1 \\
& c=3 \\
& d=-2 \\
\end{aligned} \right.$ Thỏa mãn (*)
Vậy phương trình mặt cầu là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-3by-2cz+d=0$
Điều kiện: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$ (*)
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua 3 điểm $M\left( 2;3;3 \right),N\left( 2;-1;-1 \right),P\left( -2;-1;3 \right)$ và có tâm $I$ thuộc mp $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 4a+6b+6c-d=22 \\
& 4a-2b-2c-d=6 \\
& 4a+2b-6c+d=-14 \\
& 2a+3b-c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-1 \\
& c=3 \\
& d=-2 \\
\end{aligned} \right.$ Thỏa mãn (*)
Vậy phương trình mặt cầu là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$
Đáp án B.