Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( 1;1;1 \right)$, $B\left( 0;1;2 \right)$ và khoảng cách từ $C\left( 2;-1;1 \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$. Giả sử phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $ax+by+cz+2=0$. Tính giá trị abc.
A. –2
B. 2
C. –4
D. 4
A. –2
B. 2
C. –4
D. 4
Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm A, B suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c+2=0 \\
& b+2c+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=a \\
& b=-2a-2 \\
\end{aligned} \right.$$\left( 1 \right)$.
Khoảng cách từ điểm $C\xrightarrow[{}]{{}}mp\left( P \right)$ là $d\left( C;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a-b+c+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ suy ra $\left| 5a+4 \right|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\Leftrightarrow 2{{\left( 5a+4 \right)}^{2}}=9\left( 6{{a}^{2}}+8a+4 \right)\Leftrightarrow a=1$
Vậy $a=c=1$ ; $b=-2a-2=-4\xrightarrow[{}]{{}}abc=-4$.
& a+b+c+2=0 \\
& b+2c+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=a \\
& b=-2a-2 \\
\end{aligned} \right.$$\left( 1 \right)$.
Khoảng cách từ điểm $C\xrightarrow[{}]{{}}mp\left( P \right)$ là $d\left( C;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a-b+c+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ suy ra $\left| 5a+4 \right|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\Leftrightarrow 2{{\left( 5a+4 \right)}^{2}}=9\left( 6{{a}^{2}}+8a+4 \right)\Leftrightarrow a=1$
Vậy $a=c=1$ ; $b=-2a-2=-4\xrightarrow[{}]{{}}abc=-4$.
Đáp án C.