Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tọa độ các điểm $A\left( 1;0;0 \right), B\left( 0;2;0 \right), $ $C\left( 0;0;3 \right), $ $D\left( 1;2;3 \right)$. Gọi $M\left( a,b,c \right)$ là một điểm di động nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng AM, BM, CM, DM tương ứng cắt các mặt đối của tứ diện tại các điểm X, Y, Z, T. Biết rằng biểu thức $P=\dfrac{XA}{XM}+\dfrac{YB}{YM}+\dfrac{ZC}{ZM}+\dfrac{TD}{TM}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó OM bằng bao nhiêu?
A. $OM=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
B. $OM=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
C. $OM=2.$
D. $OM=\sqrt{3}.$
Theo định lý Thales ta có:
$\dfrac{XM}{XA}+\dfrac{YM}{YB}+\dfrac{ZM}{ZC}+\dfrac{TM}{TD}=\dfrac{{{V}_{MABC}}+{{V}_{MABD}}+{{V}_{MACD}}+{{V}_{MBCD}}}{{{V}_{ABCD}}}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$\left( \dfrac{XM}{XA}+\dfrac{YM}{YB}+\dfrac{ZM}{ZC}+\dfrac{TM}{TD} \right)\left( \dfrac{XA}{XM}+\dfrac{YB}{YM}+\dfrac{ZC}{ZM}+\dfrac{TD}{TM} \right)\ge 16$
Vậy ${{P}_{\min }}=16\Leftrightarrow \dfrac{XA}{XM}=\dfrac{YB}{YM}=\dfrac{ZC}{ZM}=\dfrac{TD}{TM}$ nên $M\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2} \right)$ là trọng tâm của tứ diện.
Vậy $OM=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
A. $OM=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
B. $OM=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
C. $OM=2.$
D. $OM=\sqrt{3}.$
Theo định lý Thales ta có:
$\dfrac{XM}{XA}+\dfrac{YM}{YB}+\dfrac{ZM}{ZC}+\dfrac{TM}{TD}=\dfrac{{{V}_{MABC}}+{{V}_{MABD}}+{{V}_{MACD}}+{{V}_{MBCD}}}{{{V}_{ABCD}}}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$\left( \dfrac{XM}{XA}+\dfrac{YM}{YB}+\dfrac{ZM}{ZC}+\dfrac{TM}{TD} \right)\left( \dfrac{XA}{XM}+\dfrac{YB}{YM}+\dfrac{ZC}{ZM}+\dfrac{TD}{TM} \right)\ge 16$
Vậy ${{P}_{\min }}=16\Leftrightarrow \dfrac{XA}{XM}=\dfrac{YB}{YM}=\dfrac{ZC}{ZM}=\dfrac{TD}{TM}$ nên $M\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2} \right)$ là trọng tâm của tứ diện.
Vậy $OM=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
Đáp án B.