Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;2;3 \right)$ và cắt ba tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $OABC$ có giá trị nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$.
B. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$.
C. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=0$.
D. $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=0$.
A. $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$.
B. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$.
C. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=0$.
D. $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=0$.
Gọi $A\left( a;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right) \left( a,b,c>0 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình đoạn chắn là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì $M\left( 1;2;3 \right)\in \left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b}$ và $\dfrac{3}{c}$ ta được :
$1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}\Leftrightarrow 1\ge 27.\dfrac{6}{abc}\Leftrightarrow abc\ge 162$
Do đó, ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}abc\ge 27$. Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình đoạn chắn là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Vì $M\left( 1;2;3 \right)\in \left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b}$ và $\dfrac{3}{c}$ ta được :
$1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}\Leftrightarrow 1\ge 27.\dfrac{6}{abc}\Leftrightarrow abc\ge 162$
Do đó, ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}abc\ge 27$. Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$.
Đáp án B.